A integral dupla em uma região R do plano x y é definida como
\iint_{R} f(x, y) d A=\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}^{*}, y_{k}^{*}\right) \Delta A_{k}
Descreva o procedimento no qual é baseada essa definição.

Passo 1

O enunciado pede para descrever o procedimento no qual a definição
\iint_{R} f(x,y)\,dA=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n} f\big(x_k^*,y_k^*\big)\,\Delta A_k
se baseia. Informações relevantes fornecidas:
  • Está dada uma região R no plano xy.
  • A definição usa somas do tipo \sum_{k=1}^{n} f\big(x_k^*,y_k^*\big)\,\Delta A_k.
  • O limite é tomado quando n\to+\infty.
  • As quantidades presentes são: f (a função a integrar), (x_k^*,y_k^*) (pontos amostra), e \Delta A_k (área de uma pequena sub-região).

Passo 2

Particionar a região R.
Procedimento passo a passo:
  • Dividir R em n sub-regiões não sobrepostas R_1,R_2,\dots,R_n tal que R=\bigcup_{k=1}^{n} R_k \quad\text{e}\quad R_i\cap R_j=\varnothing \\ \text{se } i\neq j.
  • Cada sub-região R_k tem área \Delta A_k. Aqui \Delta A_k é um número positivo que mede o tamanho da peça R_k (por exemplo, para retângulos \Delta A_k=\Delta x_k\Delta y_k).
    Explicação didática: pense em cobrir R com muitas pecinhas pequenas — cada pecinha tem uma área \Delta A_k.

Passo 3

Escolher pontos amostra em cada sub-região.
  • Em cada R_k escolhe-se um ponto (x_k^*,y_k^*)\in R_k.
  • Esse ponto representa o lugar dentro da sub-região onde vamos avaliar a função.
    Explicação didática: é o análogo do ponto de amostragem em integrais simples; pode ser o canto inferior, superior, ou o ponto médio. A escolha afeta a soma aproximada, mas não o valor do limite se f for integrável.

Passo 4

Formar a soma de Riemann bidimensional.
  • Para uma dada partição e pontos amostra, constrói-se a soma S_n=\sum_{k=1}^{n} f\big(x_k^*,y_k^*\big)\,\Delta A_k.
  • Interpretação física: em cada pedaço R_k aproximamos a contribuição da função por f(x_k^*,y_k^*) vezes a área da peça; somando todas obtemos uma aproximação da “área sob a superfície” z=f(x,y) sobre R.
    Explicação didática: imagine uma pequena placa vertical sobre cada pedacinho de área com altura f(x_k^*,y_k^*); o volume aproximado é altura vezes base: f(x_k^*,y_k^*)\Delta A_k.

Passo 5

Refinar a partição e definir a norma da partição.
  • Para melhorar a aproximação, considera-se sequências de partições cada vez mais finas.
  • Define-se a norma da partição \|\mathcal{P}\| como a maior dimensão (diâmetro) das sub-regiões: \|\mathcal{P}\|=\max_{1\le k\le n} \operatorname{diam}(R_k).
  • A ideia é fazer \|\mathcal{P}\|\to 0: todas as peças ficam arbitrariamente pequenas.
    Explicação didática: a norma é um número que diz qual é a maior “tamanho” das pecinhas; ao fazer esse número tender a zero as pecinhas ficam muito pequenas e a soma fica mais precisa.

Passo 6

Tomar o limite para definir a integral dupla.
  • Dizemos que f é integrável sobre R se existir um número I tal que, sempre que \|\mathcal{P}\| for suficientemente pequeno e para qualquer escolha de pontos amostra, \sum_{k=1}^{n} f\big(x_k^*,y_k^*\big)\,\Delta A_k \to I \quad\text{quando}\quad \|\mathcal{P}\|\to 0.
  • Em notação dada no enunciado isso é escrito como \iint_{R} f(x,y)\,dA=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n} f\big(x_k^*,y_k^*\big)\,\Delta A_k.
Explicação didática: o limite significa que, não importa como dividimos R em peças pequenas nem qual ponto dentro de cada peça escolhemos, desde que as peças fiquem pequenas o suficiente, a soma converge para o mesmo número I. Esse I é a integral dupla.

Passo 7

Condições de existência e independência da escolha.
  • Se f for contínua em R limitada e R for uma região com área finita, então f é integrável: o limite existe.
  • A integral não depende da forma das sub-regiões nem dos pontos amostra, desde que \|\mathcal{P}\|\to 0.
    Explicação didática: a continuidade garante que, quando as peças ficam pequenas, f não varia muito dentro de cada peça, então a aproximação por f(x_k^*,y_k^*) é boa.

Passo 8

Exemplo concreto para fixar a ideia (retângulo com partição simples).
  • Seja R=[0,1]\times[0,1] e f(x,y)=x+y. Particione R em 2\times2 retângulos iguais. Cada sub-retângulo tem área \Delta A_k=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.
  • Escolhendo como pontos amostra os pontos médios, os quatro pontos são \big(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\big), \big(\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{4}\big), \big(\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\big), \big(\tfrac{3}{4},\tfrac{3}{4}\big). Avaliando f: f\big(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\big)=\tfrac{1}{2},\quad f\big(\tfrac{3}{4},\tfrac{1}{4}\big)=1,\quad f\big(\tfrac{1}{4},\tfrac{3}{4}\big)=1,\quad f\big(\tfrac{3}{4},\tfrac{3}{4}\big)=\tfrac{3}{2}.
  • A soma de Riemann é S_4=\sum_{k=1}^{4} f(x_k^*,y_k^*)\,\Delta A_k =\Big(\tfrac{1}{2}+1+1+\tfrac{3}{2}\Big)\cdot\tfrac{1}{4} =4\cdot\tfrac{1}{4}=1.
  • Se refinarmos a partição (mais retângulos), as somas se aproximarão do valor exato da integral. Para este exemplo, a integral exata é \iint_{R}(x+y)\,dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}(x+y)\,dx\,dy=1,o que coincide com a soma aproximada já com 4 sub-retângulos.
    Explicação didática: o exemplo mostra como montar a soma, avaliar f nos pontos escolhidos, multiplicar por \Delta A_k e somar; ao refinar, obtemos o valor exato.

Passo 9

Observações práticas para a hora da prova.
  • Passos a seguir quando pedir para explicar a definição: (i) descrever a partição de R; (ii) definir \Delta A_k e os pontos amostra (x_k^*,y_k^*); (iii) escrever a soma \sum f(x_k^*,y_k^*)\Delta A_k; (iv) explicar que se a norma da partição tende a zero e a soma tende a um limite independente da escolha, esse limite é \iint_R f\,dA.
  • Para calcular integrals na prática, usar a troca por integrais iteradas (quando aplicável) e aplicar Fubini para funções contínuas; isso evita ter de trabalhar com limites de somas diretamente.
    Motivação encorajadora: calma — a definição formal só precisa ser entendida uma vez; na prova, descreva os passos acima e, para cálculo efetivo, passe para integrais iteradas.

Resposta

Particionar R em n sub-regiões R_k com áreas \Delta A_k, escolher em cada R_k um ponto amostra (x_k^*,y_k^*), formar a soma de Riemann \sum_{k=1}^{n} f(x_k^*,y_k^*)\Delta A_k, refinar as partições fazendo a norma \|\mathcal{P}\|\to0 e, se esse somatório convergir para um mesmo número independente da partição e dos pontos amostra, esse número é a integral dupla \iint_{R} f(x,y)\,dA.

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