A integral dupla em uma região
do plano
é definida como
Descreva o procedimento no qual é baseada essa definição.
Passo 1
O enunciado pede para descrever o procedimento no qual a definição
se baseia. Informações relevantes fornecidas:
- Está dada uma região
no plano . - A definição usa somas do tipo
. - O limite é tomado quando
. - As quantidades presentes são:
(a função a integrar), (pontos amostra), e (área de uma pequena sub-região).
Passo 2
Particionar a região
.
Procedimento passo a passo:
Procedimento passo a passo:
- Dividir
em sub-regiões não sobrepostas tal que - Cada sub-região
tem área . Aqui é um número positivo que mede o tamanho da peça (por exemplo, para retângulos ).
Explicação didática: pense em cobrircom muitas pecinhas pequenas — cada pecinha tem uma área .
Passo 3
Escolher pontos amostra em cada sub-região.
- Em cada
escolhe-se um ponto . - Esse ponto representa o lugar dentro da sub-região onde vamos avaliar a função.
Explicação didática: é o análogo do ponto de amostragem em integrais simples; pode ser o canto inferior, superior, ou o ponto médio. A escolha afeta a soma aproximada, mas não o valor do limite sefor integrável.
Passo 4
Formar a soma de Riemann bidimensional.
- Para uma dada partição e pontos amostra, constrói-se a soma
- Interpretação física: em cada pedaço
aproximamos a contribuição da função por vezes a área da peça; somando todas obtemos uma aproximação da “área sob a superfície” sobre .
Explicação didática: imagine uma pequena placa vertical sobre cada pedacinho de área com altura; o volume aproximado é altura vezes base: .
Passo 5
Refinar a partição e definir a norma da partição.
- Para melhorar a aproximação, considera-se sequências de partições cada vez mais finas.
- Define-se a norma da partição
como a maior dimensão (diâmetro) das sub-regiões: - A ideia é fazer
: todas as peças ficam arbitrariamente pequenas.
Explicação didática: a norma é um número que diz qual é a maior “tamanho” das pecinhas; ao fazer esse número tender a zero as pecinhas ficam muito pequenas e a soma fica mais precisa.
Passo 6
Tomar o limite para definir a integral dupla.
- Dizemos que
é integrável sobre se existir um número tal que, sempre que for suficientemente pequeno e para qualquer escolha de pontos amostra, - Em notação dada no enunciado isso é escrito como
Explicação didática: o limite significa que, não importa como dividimos
em peças pequenas nem qual ponto dentro de cada peça escolhemos, desde que as peças fiquem pequenas o suficiente, a soma converge para o mesmo número
. Esse
é a integral dupla.
Passo 7
Condições de existência e independência da escolha.
- Se
for contínua em limitada e for uma região com área finita, então é integrável: o limite existe. - A integral não depende da forma das sub-regiões nem dos pontos amostra, desde que
.
Explicação didática: a continuidade garante que, quando as peças ficam pequenas,não varia muito dentro de cada peça, então a aproximação por é boa.
Passo 8
Exemplo concreto para fixar a ideia (retângulo com partição simples).
- Seja
e . Particione em retângulos iguais. Cada sub-retângulo tem área - Escolhendo como pontos amostra os pontos médios, os quatro pontos são
, , , . Avaliando : - A soma de Riemann é
- Se refinarmos a partição (mais retângulos), as somas se aproximarão do valor exato da integral. Para este exemplo, a integral exata é
o que coincide com a soma aproximada já com 4 sub-retângulos.
Explicação didática: o exemplo mostra como montar a soma, avaliarnos pontos escolhidos, multiplicar por e somar; ao refinar, obtemos o valor exato.
Passo 9
Observações práticas para a hora da prova.
- Passos a seguir quando pedir para explicar a definição: (i) descrever a partição de
; (ii) definir e os pontos amostra ; (iii) escrever a soma ; (iv) explicar que se a norma da partição tende a zero e a soma tende a um limite independente da escolha, esse limite é . - Para calcular integrals na prática, usar a troca por integrais iteradas (quando aplicável) e aplicar Fubini para funções contínuas; isso evita ter de trabalhar com limites de somas diretamente.
Motivação encorajadora: calma — a definição formal só precisa ser entendida uma vez; na prova, descreva os passos acima e, para cálculo efetivo, passe para integrais iteradas.
Resposta
Particionar
em
sub-regiões
com áreas
, escolher em cada
um ponto amostra
, formar a soma de Riemann
, refinar as partições fazendo a norma
e, se esse somatório convergir para um mesmo número independente da partição e dos pontos amostra, esse número é a integral dupla
.