(a) integral e^2 x d x
(b) integral x(2-x^2)^3 d x
© integral cos (8 x) d x
(d) integral x^2 e^-2 x^3 d x
(e) integral sen^2(3 x) cos (3 x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular cinco integrais indefinidas diferentes, envolvendo exponenciais, potências e funções trigonométricas. Vamos usar principalmente a técnica de substituição e as integrais básicas de exponenciais e de funções trigonométricas.

Passo 2

Para (a) integral e^2x,dx: usamos a regra da substituição com u = 2x, logo du = 2,dx ou dx = tfrac12du. Assim temos:
integral e^2x,dx = integral e^u cdot tfrac12du = tfrac12 integral e^u,du = tfrac12e^u + C = tfrac12e^2x + C

Passo 3

Para (b) integral xl(2 - x^2r)^3,dx: note que a parte complicada é (2 - x^2)^3. Fazendo u = 2 - x^2, então du = -2x,dx ou x,dx = -tfrac12du. Substituindo:
integral xl(2 - x^2r)^3,dx = integral u^3 l(-tfrac12dur) = -tfrac12 integral u^3,du = -tfrac12 cdot tfracu^44 + C = -tfracu^48 + C = -tfrac(2 - x^2)^48 + C

Passo 4

Para © integral cos(8x),dx: lembramos que integral cos(ax),dx = tfrac1asin(ax) + C. Aqui a=8, logo:
integral cos(8x),dx = tfrac18sin(8x) + C

Passo 5

Para (d) integral x^2 e^-2x^3,dx: use a substituição u = -2x^3, então du = -6x^2,dx ou x^2,dx = -tfrac16du. Substituindo:
integral x^2 e^-2x^3,dx = integral e^u l(-tfrac16dur) = -tfrac16 integral e^u,du = -tfrac16e^u + C = -tfrac16e^-2x^3 + C

Passo 6

Para (e) integral sin^2(3x),cos(3x),dx: reconheça que é da forma integral f^2 f'. Seja u = sin(3x), então du = 3cos(3x),dx ou cos(3x),dx = tfrac13du. Logo:
integral sin^2(3x),cos(3x),dx = integral u^2 cdot tfrac13du = tfrac13 cdot tfracu^33 + C = tfracu^39 + C = tfracsin^3(3x)9 + C

Resposta

(a) tfrac12e^2x + C
(b) -tfrac18(2 - x^2)^4 + C
© tfrac18sin(8x) + C
(d) -tfrac16e^-2x^3 + C
(e) tfrac19sin^3(3x) + C

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