Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas:
Passo 1
A gente tem a equação diferencial não homogênea
. Isso é uma equação linear de segunda ordem com termo forçado
. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando coeficientes indeterminados.
Passo 2
A parte homogênea associada é
. Escrevendo a equação característica:
Resolvendo-a, fatoramos:
Logo, as raízes são
e
. Assim, a solução geral da homogênea é
onde
Passo 3
Para a solução particular
, como o forçamento é
, fazemos o palpite
com
Substituindo em
Isso deve ser igual a
, logo
Portanto,
Passo 4
Juntando as duas partes, a solução geral da equação não homogênea é a soma de
e
. Assim,