Resolva as seguintes equações diferenciais não homogêneas:
y^prime prime-y^prime-6 y=e^2 x

Passo 1

A gente tem a equação diferencial não homogênea y''-y'-6y=e^2x. Isso é uma equação linear de segunda ordem com termo forçado e^2x. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea associada e depois encontrar uma solução particular usando coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea associada é y''-y'-6y=0. Escrevendo a equação característica:
r^2-r-6=0
Resolvendo-a, fatoramos:
(r-3)(r+2)=0
Logo, as raízes são r1=3 e r2=-2. Assim, a solução geral da homogênea é
yh(x)=C1e^3x+C2e^-2x
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a solução particular yp, como o forçamento é e^2x, fazemos o palpite
yp(x)=A e^2x
com A constante a determinar. Calculando derivadas:
yp'(x)=2A e^2x,
yp''(x)=4A e^2x
Substituindo em y''-y'-6y=e^2x:
4A e^2x-2A e^2x-6A e^2x=(4A-2A-6A)e^2x=-4A e^2x
Isso deve ser igual a e^2x, logo
-4A e^2x=e^2ximplies -4A=1implies A=-tfrac14
Portanto,
yp(x)=-tfrac14e^2x

Passo 4

Juntando as duas partes, a solução geral da equação não homogênea é a soma de yh e yp. Assim,
y(x)=C1 e^3x+C2 e^-2x-tfrac14 e^2x

Resposta

y(x)=C1 e^3x+C2 e^-2x-tfrac14 e^2x

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