Resolva as seguintes equações diferenciais homogêneas de segunda ordem:
y^prime prime+y^prime-12 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes y'' + y' - 12y = 0. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem e vamos usar o método do polinômio característico para encontrar a solução.

Passo 2

Para aplicar o método, assumimos uma solução do tipo y = e^rx. Ao derivar, cada derivada gera um fator r, então, substituindo na ODE e dividindo por e^rx, obtemos a equação característica:
r^2 + r - 12 = 0

Passo 3

Resolvendo essa equação de segundo grau pela fórmula de Bhaskara, temos:
r = -1 pm raiz1 + 482 = -1 pm 72
Logo, as raízes são r1 = 3 e r2 = -4.

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, pela teoria das EDOs a solução geral é dada por uma combinação linear de e^r1 x e e^r2 x.

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-4x

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