1. integral (x+4) d x(2 x+3)=x2+5 ln |2 x+3|4+c

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x+42x+3,dx
O conteúdo envolve divisão algébrica do numerador pela expressão do denominador e, em seguida, o uso da primitiva de 1/(2x+3), que gera um logaritmo.

Passo 2

Vamos escrever
x+42x+3 = A + B2x+3
e determinar A e B. Igualando numeradores:
x+4 = A(2x+3) + B = 2A,x + 3A + B
Comparando coeficientes de x e termos independentes, vem
2A = 1 ;Rightarrow; A = tfrac12,
3A + B = 4 ;Rightarrow; tfrac32 + B = 4 ;Rightarrow; B = tfrac52
Logo
x+42x+3 = 12 + tfrac522x+3 = 12 + 52(2x+3)

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral x+42x+3,dx = integral 12,dx + 52integral 12x+3,dx
A primeira parte é
integral 12,dx = x2
Para a segunda, note que
integral 12x+3,dx = 12lnl|2x+3r|
Multiplicando pelo fator tfrac52
52cdot 12lnl|2x+3r| = 54lnl|2x+3r|

Resposta

x2 + 54lnl|2x+3r| + c

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