Analise a concavidade e determine os pontos de inflexão das funções:
g(x)=ln (x^2+1)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a concavidade da função
g(x)=lnl(x^2+1r)
e determinar onde ela muda de concavidade (pontos de inflexão). Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada: calcular g'(x), depois g''(x), analisar o sinal de g''(x) e encontrar onde g''(x)=0.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada primeira usando a regra de cadeia e l(ln ur)'=u'/u. Aqui u(x)=x^2+1 e u'(x)=2x. Logo,
g'(x) = u'(x)u(x) = 2xx^2+1

Passo 3

Em seguida, derivamos g'(x) para obter a segunda derivada. Aplicando a regra do quociente l(v/wr)'=(v'w - v,w')/w^2 com v(x)=2x e w(x)=x^2+1, obtemos
g''(x) = 2,(x^2+1) - 2xcdot(2x)(x^2+1)^2 = 2x^2 + 2 - 4x^2(x^2+1)^2

Passo 4

Simplificando o numerador,
g''(x) = 2 - 2x^2(x^2+1)^2 = 2,1 - x^2(x^2+1)^2

Passo 5

Agora, analisamos o sinal de g''(x):
  • O denominador (x^2+1)^2 é sempre positivo para todo x.
  • O numerador 2(1 - x^2) é positivo quando 1 - x^2 > 0, ou seja, -1 < x < 1; e é negativo quando 1 - x^2 < 0, ou seja, x < -1 ou x > 1.
Portanto, g é côncava para cima em (-1,1) e côncava para baixo em (-infty,-1)cup(1,infty).

Passo 6

Os pontos de inflexão são aqueles onde g''(x)=0 e há troca de concavidade.
Resolvendo
g''(x)=0 Longrightarrow 1 - x^2 = 0 Longrightarrow x = pm 1
Em x=pm 1 ocorre mudança de sinal de g'', então são pontos de inflexão. Os valores de g nesses pontos são
g(pm1)=lnl((pm1)^2+1r)=ln2

Resposta

A função é côncava para cima em (-1,1) e côncava para baixo em (-infty,-1)cup(1,infty).
Os pontos de inflexão são l(-1,ln2r) e l(1,ln2r).

Exercícios relacionados