Analise a concavidade e determine os pontos de inflexão das funções:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a concavidade da função
e determinar onde ela muda de concavidade (pontos de inflexão). Para isso, vamos usar o teste da segunda derivada: calcular
, depois
, analisar o sinal de
e encontrar onde
.
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada primeira usando a regra de cadeia e
. Aqui
e
. Logo,
Passo 3
Em seguida, derivamos
para obter a segunda derivada. Aplicando a regra do quociente
com
e
, obtemos
Passo 4
Simplificando o numerador,
Passo 5
Agora, analisamos o sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo para todo . - O numerador
é positivo quando , ou seja, ; e é negativo quando , ou seja, ou .
Portanto,
é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
Passo 6
Os pontos de inflexão são aqueles onde
e há troca de concavidade.
Resolvendo
Resolvendo
Em
ocorre mudança de sinal de
, então são pontos de inflexão. Os valores de
nesses pontos são
Resposta
A função é côncava para cima em
e côncava para baixo em
.
Os pontos de inflexão são e
.
Os pontos de inflexão são