1. integral0^1 integral0^pi integral0^pi / 4 12 rho sen^3 phi d phi d theta d rho

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral0^1integral0^piintegral0^pi/412,rho,sin^3phi;dphi,dtheta,drho
O conteúdo é integração em coordenadas esféricas, mas note que já temos o fator de Jacobiano embutido na expressão 12,rho,sin^3phi. Vamos usar a separabilidade do integrando em funções de rho, theta e phi.

Passo 2

Como o integrando é produto de uma função de rho pelo que depende de theta e pelo que depende de phi, podemos escrever
integral0^112,rho,drho;times;integral0^pidtheta;times;integral0^pi/4sin^3phi,dphi

Passo 3

Calcular o integral em rho:
integral0^112,rho,drho =12;gl[rho^22gr]0^1 =12cdot12 =6

Passo 4

Calcular o integral em theta:
integral0^pidtheta =pi

Passo 5

Calcular o integral em phi. Usamos
sin^3phi=sinphi,(1-cos^2phi) e a substituição u=cosphi, du=-sinphi,dphi:
integralsin^3phi,dphi =integralsinphi,dphi-integralsinphi,cos^2phi,dphi =-cosphi+cos^3phi3+C
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integral0^pi/4sin^3phi,dphi =l[-cosphi+tfraccos^3phi3r]0^pi/4 =l(-tfracraiz22+tfrac(raiz2/2)^33r)-l(-1+tfrac13r) =112l(8-5raiz2r)

Passo 6

Multiplicando os três resultados:
6;times;pi;times;112(8-5raiz2) =6pi12,(8-5raiz2) =pi2,(8-5raiz2)

Resposta

pi2,(8-5raiz2)

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