8-integral0^3 integral0^pi2(t^2 sen^3 theta) d theta d t (R:2)

Passo 1

O exercício pede para calcular a expressão
8 - integral0^3integral0^pi2 t^2,sin^3theta,dtheta,dt.
O conteúdo envolve integração dupla, separação de variáveis e uso de identidade trigonométrica para sin^3theta, além de integração de potências de t.

Passo 2

Vamos primeiro avaliar a integral interna em theta:
Para isso, usamos a identidade
sin^3theta = sintheta,(1 - cos^2theta)
Assim,
integral0^pi2sin^3theta,dtheta = integral0^pi2l(sintheta - sintheta,cos^2thetar),dtheta
Calculando cada parte, obtemos
integral sintheta,dtheta = -costheta,
integral sintheta,cos^2theta,dtheta = -cos^3theta3
Logo,
integral0^pi2sin^3theta,dtheta = l(-costheta + cos^3theta3r)|0^pi2 = 0 - l(-1 + tfrac13r) = 23

Passo 3

Agora substituímos esse resultado na integral sobre t. Temos
integral0^3integral0^pi2 t^2,sin^3theta,dtheta,dt = integral0^3 t^2 cdot 23,dt = 23integral0^3 t^2,dt
E
integral0^3 t^2,dt = t^33|0^3 = 273 = 9
Portanto,
integral0^3integral0^pi2 t^2,sin^3theta,dtheta,dt = 23 cdot 9 = 6

Passo 4

Por fim, subtraímos esse valor de 8:
8 - 6 = 2

Resposta

2

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