integral1^4 integral0^2(6 x^2 y-2 x) dy dx (R: 222)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral duplo integralx=1^4integraly=0^2l(6x^2y-2xr),dy,dx. O conteúdo envolvido é integração iterada: primeiro integramos em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y:
integral0^2l(6x^2y-2xr),dy
Usamos a linearidade e a regra de potência. Um antiderivado em y é
6x^2cdoty^22-2xcdot y =3x^2y^2-2xy
Agora avaliamos de y=0 até y=2:
3x^2l(2^2r)-2xcdot2-l(3x^2cdot0^2-2xcdot0r) =12x^2-4x

Passo 3

O integral duplo fica assim reduzido a um integral simples em x:
integral1^4(12x^2-4x),dx
Novamente usamos antiderivação: para 12x^2 o antiderivado é 12cdot x^3/3=4x^3, e para 4x é 4cdot x^2/2=2x^2. Logo:
integral(12x^2-4x),dx=4x^3-2x^2

Passo 4

Agora avaliamos de x=1 até x=4:
l(4cdot4^3-2cdot4^2r)-l(4cdot1^3-2cdot1^2r) =l(4cdot64-2cdot16r)-l(4-2r) =l(256-32r)-2 =224-2=222

Resposta

222

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