a) integral0^1(x^2+raizx) d x
b) integralpi4^3 pi4 cosec theta cdot cotg theta d theta
c) integral0^1 x e^x^2 d x

Passo 1

Resumo da questão: temos três integrais definidas para calcular: (a) integral0^1(x^2+raizx),dx, (b) e © integralpi4^3pi4cosecthetacdotcotgtheta,dtheta. O conteúdo envolvido é cálculo de integrais definidas usando a regra do poder, antiderivadas de funções trigonométricas e técnica de substituição. Para resolver, vamos usar a linearidade da integral, tabelas de antiderivadas e mudança de variável.

Passo 2

Para (a) aplicamos a linearidade: integral0^1(x^2+raizx),dx=integral0^1x^2,dx+integral0^1x^1/2,dx. Usando a regra do poder, temos como antiderivadas x^33 e 23x^3/2.
Calculamos os valores no intervalo de 0 a 1: avaliando x^33+23x^3/2 em 1 e em 0, obtemos l(tfrac13+tfrac23r)-0=1.

Passo 3

Para (b) reconhecemos que . Logo

Passo 4

Avaliando de theta=tfracpi4 a theta=tfrac3pi4

Passo 5

Para © fazemos a substituição u=x^2, logo du=2x,dx ou x,dx=tfrac12du. Os limites mudam: quando x=0, u=0; quando x=1, u=1. Assim
integral0^1x e^x^2,dx=tfrac12integral0^1e^u,du=tfrac12l[e^ur]0^1=tfrac12(e-1)

Resposta

a) 1; b) 0; c) tfrace-12

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