integral0^1 integral0^2 3 x y+x d y d x

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular uma integral dupla dada por integral0^1 integral0^2 (3xy + x) , dy , dx. A matéria envolvida é o cálculo de integrais múltiplas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar a função 3xy + x em relação a y, mantendo x constante. A integral fica:
integral0^2 (3xy + x) , dy

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
integral0^2 3xy , dy + integral0^2 x , dy

Passo 4

Integrando a primeira parte integral0^2 3xy , dy:
3x integral0^2 y , dy = 3x [ y^22 ]0^2 = 3x ( 42 - 0 ) = 3x times 2 = 6x

Passo 5

Integrando a segunda parte integral0^2 x , dy:
x integral0^2 1 , dy = x [y]0^2 = x (2 - 0) = 2x

Passo 6

Somando os resultados das duas integrais:
6x + 2x = 8x

Passo 7

Agora, vamos integrar o resultado 8x em relação a x no intervalo de 0 a 1:
integral0^1 8x , dx

Passo 8

Calculando a integral:
8 integral0^1 x , dx = 8 [ x^22 ]0^1 = 8 ( 12 - 0 ) = 8 times 12 = 4

Resposta

O valor da integral dupla é 4.

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