, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos que calcular a integral de $ dx $ ao longo do caminho
, onde
para $ t $ entre 0 e 1. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar entender como parametrizar o caminho e como integrar funções em trajetórias no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização do caminho
. Aqui, $ x(t) = t $ e $ y(t) = 3t $. A parametrização define como nos movemos no plano à medida que $ t $ varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, precisamos entender o que significa $ dx $ na integral. Em cálculo vetorial, $ dx $ representa a diferencial da componente $ x $ da parametrização. Para integrar $ dx $ ao longo do caminho, usamos a derivada de $ x(t) $ em relação a $ t $ multiplicada por $ dt $. Ou seja, $ dx = x’(t) dt $.
Passo 4
Vamos calcular $ x’(t) $, que é a derivada de $ x(t) = t $ em relação a $ t $. Então, $ x’(t) = 1 $. Isso simplifica nossa integral para:
Passo 5
Agora, basta calcular a integral de 1 em relação a $ t $ de 0 a 1. A integral de uma constante $ c $ em relação a $ t $ é $ c \cdot t $. Então:
Resposta
A integral
vale 1.