Classifique cada função como uma função potência (indique seu grau), função racional, função algébrica, função logarítmica.
h(x)=3 x^31-x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ h(x) = \frac{3x^{3}}{1 - x^{2}} $. O objetivo aqui é classificar essa função em quatro categorias: função potência (informando o grau), função racional, função algébrica e função logarítmica. Para isso, precisamos entender o que cada tipo de função representa e ver qual se encaixa melhor com a $ h(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre função potência. Uma função potência tem a forma $ f(x) = ax^n $, onde $ a $ é uma constante e $ n $ é o grau da função. No nosso caso, $ h(x) $ é uma fração envolvendo $ x^{3} $ e $ x^{2} $. Para identificar se é uma função potência, precisamos ver se a função pode ser expressa como uma única potência de $ x $. Claro que, como está, não é, mas vamos analisar mais a fundo.

Passo 3

Agora, vamos para função racional. Uma função racional é o quociente de dois polinômios, ou seja, tem a forma $ \frac{P(x)}{Q(x)} $, onde $ P(x) $ e $ Q(x) $ são polinômios. Olhando para $ h(x) = \frac{3x^{3}}{1 - x^{2}} $, vemos que tanto o numerador $ 3x^{3} $ quanto o denominador $ 1 - x^{2} $ são polinômios. Portanto, $ h(x) $ é uma função racional.

Passo 4

Seguimos para função algébrica. Funções algébricas são aquelas que podem ser obtidas a partir de operações finitas de adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação envolvendo polinômios. Como $ h(x) $ é uma função racional, que é um tipo específico de função algébrica, podemos concluir que $ h(x) $ também é uma função algébrica.

Passo 5

Por último, vamos analisar a função logarítmica. Funções logarítmicas têm a forma $ f(x) = \log_a(x) $, onde $ a $ é a base do logaritmo. A nossa função $ h(x) $ não envolve nenhum logaritmo, apenas potências e operações racionais. Então, $ h(x) $ NÃO é uma função logarítmica.

Resposta

A função $ h(x) = \frac{3x^{3}}{1 - x^{2}} $ é:
  • Função Potência: Não se aplica diretamente, pois é uma fração de potências.
  • Função Racional: Sim.
  • Função Algébrica: Sim.
  • Função Logarítmica: Não.

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