Prove que: Se c>1, c in R, então c^n>c.
(Sugestão: c=1+a ; a>0. Use a desigualdade de Bernoulli).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dado um real c>1 e um inteiro n>=2, então c^n>c. O conteúdo principal que vamos usar é a desigualdade de Bernoulli, que relaciona (1+a)^n com 1+na.

Passo 2

Escrevemos c na forma c=1+a com a>0. Assim, c^n=(1+a)^n.

Passo 3

A desigualdade de Bernoulli diz que, para todo real a>-1 e inteiro n>=1, temos
(1+a)^n >= 1 + na
Aqui, como a>0 e n>=2, podemos aplicar esta desigualdade.

Passo 4

Como a>0 e n>=2, temos
1 + na > 1 + a,
já que multiplicar um número positivo a por n>=2 aumenta o resultado em relação a multiplicá-lo por 1.

Passo 5

Juntando as desigualdades, obtemos
(1+a)^n >= 1 + na > 1 + a,
ou seja,
c^n = (1+a)^n > 1 + a = c

Resposta

Concluímos que c^n > c.

Exercícios relacionados