, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de $ dy $ ao longo da curva $ \lambda $, que está definida por $ \lambda(t) = (t, 1) $ para $ t $ variando de 0 a 2. Esse tipo de problema faz parte do estudo de integrais de linha em cálculo, onde a gente integra uma função ao longo de um caminho específico no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva $ \lambda(t) = (t, 1) $. Isso significa que para cada valor de $ t $ entre 0 e 2, a coordenada $ x $ é igual a $ t $ e a coordenada $ y $ é sempre 1. Então, essa curva é uma linha reta paralela ao eixo $ x $, localizada no nível $ y = 1 $.
Passo 3
Agora, para calcular a integral de $ dy $ ao longo dessa curva, precisamos expressar $ dy $ em termos do parâmetro $ t $. Sabemos que $ y(t) = 1 $, então a derivada de $ y $ em relação a $ t $ é:
Passo 4
A integral de linha é dada por:
Onde $ a = 0 $ e $ b = 2 $ são os limites para $ t $. Substituindo $ \frac{dy}{dt} = 0 $ na integral:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa integral. Integrar zero em qualquer intervalo resulta em zero:
Resposta
A integral de $ dy $ ao longo da curva $ \lambda(t) = (t, 1) $ de $ t = 0 $ a $ t = 2 $ é igual a 0.