, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral ao longo de uma curva
, que é definida por
para
entre
e
. O que vamos precisar aqui é entender integrais de linha na matéria de Cálculo. Basicamente, integrais de linha são usadas para somar quantidades ao longo de uma curva no plano ou no espaço. Vamos precisar parametrizar a curva, ou seja, expressar
e
em função de
, e depois substituir esses valores na integral para calcular o resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. A parametrização nos diz como
e
variam em função de
. No enunciado, temos:
Então, temos:
Isso significa que, conforme
varia de
a
,
varia como
e
simplesmente como
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
, que são
e
. Essas derivadas são necessárias porque vamos substituir
e
na integral original.
Calculando:
Portanto:
Passo 4
Vamos substituir
,
,
, e
na integral original:
Substituindo os valores que temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Integrando:
Calculando os limites de integração:
Resposta
O valor final da integral é
.