integrallambda x y d x-y d y, onde lambda:[0,2] R^2, lambda(t)=(t^2, t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular uma integral ao longo de uma curva lambda, que é definida por lambda(t) = (t^2, t) para t entre 0 e 2. O que vamos precisar aqui é entender integrais de linha na matéria de Cálculo. Basicamente, integrais de linha são usadas para somar quantidades ao longo de uma curva no plano ou no espaço. Vamos precisar parametrizar a curva, ou seja, expressar x e y em função de t, e depois substituir esses valores na integral para calcular o resultado final.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva lambda(t). A parametrização nos diz como x e y variam em função de t. No enunciado, temos:
lambda(t) = (x(t), y(t)) = (t^2, t)
Então, temos:
x(t) = t^2 e y(t) = t
Isso significa que, conforme t varia de 0 a 2, x varia como t^2 e y simplesmente como t.

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de x e y em relação a t, que são dx/dt e dy/dt. Essas derivadas são necessárias porque vamos substituir dx e dy na integral original.
Calculando:
dxdt = ddt(t^2) = 2t
dydt = ddt(t) = 1
Portanto:
dx = 2t , dt e dy = 1 , dt

Passo 4

Vamos substituir x(t), y(t), dx, e dy na integral original:
integrallambda x y , dx - y , dy = integral0^2 [x(t) y(t) cdot dx/dt - y(t) cdot dy/dt] , dt
Substituindo os valores que temos:
integral0^2 [t^2 cdot t cdot 2t - t cdot 1] , dt
Simplificando:
integral0^2 [2t^4 - t] , dt

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral0^2 2t^4 , dt - integral0^2 t , dt
Integrando:
2 cdot [ t^55 ]0^2 - [ t^22 ]0^2
Calculando os limites de integração:
2 cdot ( 2^55 - 0 ) - ( 2^22 - 0 ) = 2 cdot 325 - 42 = 645 - 2 = 645 - 105 = 545

Resposta

O valor final da integral é boxeddfrac545.

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