Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a transformada de Laplace de é igual a usando a técnica de integração por partes. Isso envolve conhecimentos de transformadas de Laplace e cálculo integral, especialmente a regra de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida por:
No nosso caso, , então queremos calcular:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a técnica de integração por partes, que é dada por:
Escolhemos:
Passo 4
Aplicando a integração por partes:
Avaliaremos os limites:
-1s e^-st t^n |0^infty = 0 - 0 = 0
Então, temos:
Lt^n = ns Lt^n-1
Passo 5
Percebemos que a transformada de Lt^n = ns cdot n-1s cdot ldots cdot 1s cdot Lt^0 está relacionada à transformada de Lt^n = n!s^n+1 . Aplicando essa relação repetidamente, temos: