Integrando por partes, prove que
Lt^n=n!s^n+1, n in N backslash0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que a transformada de Laplace de é igual a usando a técnica de integração por partes. Isso envolve conhecimentos de transformadas de Laplace e cálculo integral, especialmente a regra de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela é definida por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
No nosso caso, Lt^n = integral0^infty e^-st t^n , dt , então queremos calcular:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a técnica de integração por partes, que é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
u = t^n Rightarrow du = n t^n-1 dt
dv = e^-st dt Rightarrow v = -1s e^-st

Passo 4

Aplicando a integração por partes:
integral0^infty e^-st t^n , dt = -1s e^-st t^n |0^infty + ns integral0^infty e^-st t^n-1 , dt
Avaliaremos os limites:
-1s e^-st t^n |0^infty = 0 - 0 = 0
Então, temos:
Lt^n = ns Lt^n-1

Passo 5

Percebemos que a transformada de Lt^n = ns cdot n-1s cdot ldots cdot 1s cdot Lt^0 está relacionada à transformada de Lt^n = n!s^n+1 . Aplicando essa relação repetidamente, temos:
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, provamos que:
Lt^n = n!s^n+1, n in N setminus 0

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