Calcule a transformada de Laplace inversa:
F(s)=3 s+8(s^2+1)(s^2+4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada de Laplace inversa de . Aqui, vamos usar o conteúdo de transformadas de Laplace e frações parciais. Para isso, vamos precisar quebrar a fração dada em partes menores que a gente já conhece a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar 3s + 8(s^2 + 1)(s^2 + 4) = As + Bs^2 + 1 + Cs + Ds^2 + 4 como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes , , e tais que:

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum 3s + 8 = (As + B)(s^2 + 4) + (Cs + D)(s^2 + 1) para eliminar as frações, temos:

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
3s + 8 = As^3 + 4As + Bs^2 + 4B + Cs^3 + Cs + Ds^2 + D
Agrupando os termos semelhantes:
3s + 8 = (A + C)s^3 + (B + D)s^2 + (4A + C)s + (4B + D)

Passo 5

Para as duas frações serem iguais para todo valor de A + C = 0 B + D = 0 4A + C = 3 4B + D = 8 , os coeficientes dos mesmos poderes de devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
  1. Da primeira equação:
  2. Da terceira equação:
  3. Então,
  4. Da segunda equação:
  5. Da quarta equação:
  6. Portanto,

Passo 7

Agora que temos os valores de 3s + 8(s^2 + 1)(s^2 + 4) = 1 cdot s + 83s^2 + 1 + (-1) cdot s - 83s^2 + 4 , 3s + 8(s^2 + 1)(s^2 + 4) = ss^2 + 1 + 83s^2 + 1 - ss^2 + 4 - 83s^2 + 4 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-1ss^2 + a^2 = cos(at)
L^-1as^2 + a^2 = sin(at)
Aplicando isso a cada termo:
  1. (pois )
  2. (pois )

Passo 9

Juntando tudo, a transformada de Laplace inversa de f(t) = cos(t) + 83 sin(t) - cos(2t) - 43 sin(2t) é:

Resposta

A transformada de Laplace inversa de f(t) = cos(t) + 83 sin(t) - cos(2t) - 43 sin(2t) é:

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