Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada de Laplace inversa de . Aqui, vamos usar o conteúdo de transformadas de Laplace e frações parciais. Para isso, vamos precisar quebrar a fração dada em partes menores que a gente já conhece a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar como uma soma de frações parciais. Queremos encontrar constantes , , e tais que:
Passo 3
Multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações, temos:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 5
Para as duas frações serem iguais para todo valor de , os coeficientes dos mesmos poderes de devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação:
Da terceira equação:
Então,
Da segunda equação:
Da quarta equação:
Portanto,
Passo 7
Agora que temos os valores de 3s + 8(s^2 + 1)(s^2 + 4) = 1 cdot s + 83s^2 + 1 + (-1) cdot s - 83s^2 + 4 , 3s + 8(s^2 + 1)(s^2 + 4) = ss^2 + 1 + 83s^2 + 1 - ss^2 + 4 - 83s^2 + 4 , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a transformada de Laplace inversa de cada termo separadamente. Sabemos que:
L^-1ss^2 + a^2 = cos(at)
L^-1as^2 + a^2 = sin(at)
Aplicando isso a cada termo:
(pois )
(pois )
Passo 9
Juntando tudo, a transformada de Laplace inversa de f(t) = cos(t) + 83 sin(t) - cos(2t) - 43 sin(2t) é:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de f(t) = cos(t) + 83 sin(t) - cos(2t) - 43 sin(2t) é: