Integrar as equações diferenciais que admitem solução em termos de equações homogêneas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para integrar uma equação diferencial que admite solução em termos de equações homogêneas. A equação dada é:
Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais homogêneas e como integrá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos podem ser escritos como funções de 
Vamos dividir tudo por 
Perceba que ainda temos termos que não são homogêneos devido aos 
Passo 3
Um fator integrante comum para equações que não são homogêneas é uma função que depende de 
Para isso, a condição para 
Onde 
Calculando as derivadas parciais:
Substituindo na condição:
Isso parece complicado, então talvez um fator integrante depende de 
Tentando 
Substituindo:
Ainda complicado. Parece que encontrar um fator integrante direto não está funcionando. Vamos tentar reescrever a equação de outra forma.
Passo 4
Vamos reescrever a equação original:
Podemos rearranjar para obter 
Agora, vamos tentar escrever em termos de 
Substituindo na equação:
Vamos simplificar cancelando 
Isso ainda parece complicado, então vamos tentar outro método.
Passo 5
Vamos verificar se a equação é exata. Uma equação diferencial da forma 
Onde 
Calculando as derivadas:
Como 
Passo 6
Vamos tentar encontrar um fator integrante 
Assumamos que 
Após tentativas anteriores, parece que não encontramos um fator integrante simples. Portanto, podemos considerar outra abordagem, como encontrar uma solução particular ou utilizar métodos alternativos.
Passo 7
Como a equação não é homogênea e não conseguimos facilmente encontrar um fator integrante, vamos tentar resolver de forma implícita.
Rearranjando a equação:
Integrando ambos os lados:
Assumindo que 
Rearranjando os termos para juntar tudo em um lado:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde 
