Integrate the followings as a power series. State the radius of convergence
(a) integral ln (1+3 x)x d x
(b) integral sin (x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integrais indefinidas usando séries de potências e indicar o raio de convergência. Vamos usar expansões conhecidas de funções elementares e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Para (a), começamos da série de Taylor de ln(1+u) em torno de u=0:
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n-1u^nn,|u|<1
Substituindo u=3x e dividindo por x obtemos:
ln(1+3x)x=sumn=1^infty(-1)^n-1(3x)^nncdot1x =sumn=1^infty(-1)^n-13^n x^n-1n

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
integralln(1+3x)x,dx =sumn=1^infty(-1)^n-13^nnintegral x^n-1,dx =sumn=1^infty(-1)^n-13^n x^nn^2+C
A série original converge para |3x|<1, ou seja, |x|<1/3.

Passo 4

Para (b), usamos a expansão de sin t:
sin t=sumn=0^infty(-1)^nt^2n+1(2n+1)!, t=x^2
Logo:
sin(x^2)=sumn=0^infty(-1)^nx^4n+2(2n+1)!

Passo 5

Integramos termo a termo:
integralsin(x^2),dx =sumn=0^infty(-1)^n1(2n+1)!integral x^4n+2,dx =sumn=0^infty(-1)^nx^4n+3(2n+1)!,(4n+3)+C
Como sin(x^2) é função inteira, o raio de convergência da série é +infty.

Resposta

(a) integralln(1+3x)x,dx=sumn=1^infty(-1)^n-13^n x^nn^2+C, raio de convergência: |x|ê
(b) integralsin(x^2),dx=sumn=0^infty(-1)^nx^4n+3(2n+1)!,(4n+3)+C, raio de convergência: +inftyê

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