Integrate the followings as a power series. State the radius of convergence
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular integrais indefinidas usando séries de potências e indicar o raio de convergência. Vamos usar expansões conhecidas de funções elementares e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Para (a), começamos da série de Taylor de
em torno de
:
Substituindo
e dividindo por
obtemos:
Passo 3
Agora integramos termo a termo:
A série original converge para
, ou seja,
.
Passo 4
Para (b), usamos a expansão de
:
Logo:
Passo 5
Integramos termo a termo:
Como
é função inteira, o raio de convergência da série é
.
Resposta
(a)
(b)