A região delimitada pelos gráficos das equações x^2=y-2 e 2 y-x-2=0 e por x=0 e x=1, gira em torno do eixo x . Determine o volume do sólido resultante. Faça o gráfico da região gerada.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a região R no plano xy limitada pelas curvas y = x^2 + 2, y = x/2 + 1 e pelas retas verticais x = 0 e x = 1. Vamos girar R em torno do eixo x e calcular o volume do sólido obtido. O conteúdo envolvido é cálculo de volumes por discos/anéis (método dos anéis) e precisaremos usar a fórmula V = π ∫ [R(x)^2 – r(x)^2] dx.

Passo 2

Análise gráfica: No intervalo 0 ≤ x ≤ 1 a reta y = x/2 + 1 fica abaixo da parábola y = x^2 + 2. As retas x = 0 e x = 1 fecham a região lateralmente. Esquematicamente, R é o “fundo” reto (reta), o “teto” curvo (parábola) e os dois cortes verticais.
Desenho esquemático da região R:
No plano xy, a reta y = x/2 + 1 passa por (0,1) e (1,1{,}5), a parábola y = x^2 + 2 passa por (0,2) e (1,3). Entre x=0 e x=1, R é o conjunto de pontos entre essas duas curvas.

Passo 3

Configuração do volume por anéis: Para cada x em [0,1], o raio externo é R(x) = y_{
parábola} = x^2 + 2 e o raio interno é r(x) = y_{
reta} = x/2 + 1. Assim
V = pi integral0^1 l[(x^2 + 2)^2 - (x/2 + 1)^2r] , dx

Passo 4

Cálculo da integral: Expandindo as funções:
(x^2+2)^2 = x^4 + 4x^2 + 4, (x/2+1)^2 = tfracx^24 + x +1
Logo o integrando é
x^4 + 4x^2 +4 - l(tfracx^24 + x +1r) = x^4 + tfrac154x^2 - x +3
Integramos de 0 a 1:
integral0^1 x^4 ,dx = tfrac15, integral0^1 tfrac154x^2 ,dx = tfrac54, integral0^1(-x),dx = -tfrac12, integral0^13 ,dx = 3
Somando: tfrac15 + tfrac54 - tfrac12 + 3 = tfrac7920
Portanto o volume do sólido de revolução é dado por V = π · (79/20).

Resposta

$ \displaystyle \frac{79\pi}{20} $

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