A região delimitada pelos gráficos das equações
e
e por
e
, gira em torno do eixo x . Determine o volume do sólido resultante. Faça o gráfico da região gerada.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a região R no plano xy limitada pelas curvas y = x^2 + 2, y = x/2 + 1 e pelas retas verticais x = 0 e x = 1. Vamos girar R em torno do eixo x e calcular o volume do sólido obtido. O conteúdo envolvido é cálculo de volumes por discos/anéis (método dos anéis) e precisaremos usar a fórmula V = π ∫ [R(x)^2 – r(x)^2] dx.
Passo 2
Análise gráfica: No intervalo 0 ≤ x ≤ 1 a reta y = x/2 + 1 fica abaixo da parábola y = x^2 + 2. As retas x = 0 e x = 1 fecham a região lateralmente. Esquematicamente, R é o “fundo” reto (reta), o “teto” curvo (parábola) e os dois cortes verticais.
Desenho esquemático da região R:
No plano xy, a reta y = x/2 + 1 passa por (0,1) e (1,1{,}5), a parábola y = x^2 + 2 passa por (0,2) e (1,3). Entre x=0 e x=1, R é o conjunto de pontos entre essas duas curvas.
Desenho esquemático da região R:
No plano xy, a reta y = x/2 + 1 passa por (0,1) e (1,1{,}5), a parábola y = x^2 + 2 passa por (0,2) e (1,3). Entre x=0 e x=1, R é o conjunto de pontos entre essas duas curvas.
Passo 3
Configuração do volume por anéis: Para cada x em [0,1], o raio externo é R(x) = y_{
parábola} = x^2 + 2 e o raio interno é r(x) = y_{
reta} = x/2 + 1. Assim
parábola} = x^2 + 2 e o raio interno é r(x) = y_{
reta} = x/2 + 1. Assim
Passo 4
Cálculo da integral: Expandindo as funções:
Logo o integrando é
Integramos de 0 a 1:
Somando:
Portanto o volume do sólido de revolução é dado por V = π · (79/20).
Resposta
$ \displaystyle \frac{79\pi}{20} $