(a) What is your favorite sequence? List out its first 5 terms.
Explain why it is your favorite.
(b) What is your favorite convergent series? What does it converge to?
Explain why it is your favorite.

Passo 1

O enunciado pede para escolher uma sequência favorita e uma série convergente favorita, listar termos ou valor de soma, e explicar o porquê. O conteúdo envolve definição de sequência, série infinita e convergência.

Passo 2

Para a parte (a), escolhi a sequência de Fibonacci, cujo enunciado clássico define cada termo (a_n) como a_{n-1}+a_{n-2}, começando com a_1=1 e a_2=1. Logo os cinco primeiros termos são:
1, 1, 2, 3, 5
Gosto dessa sequência porque ela aparece em muita matemática discreta, em biologia (filotaxia) e em algoritmos, mostrando padrões de crescimento natural e aplicações práticas de recursão.

Passo 3

Para a parte (b), escolhi a série geométrica com razão 1/2, isto é, $ sumn=1^infty 12^n
Essa é uma das séries infinitas mais simples que converge.
Sabemos pela fórmula da soma de uma série geométrica que, para |r|<1, $ sumn=1^infty r^n=r1-r
Aqui r=1/2, então a soma é 1.
Prefiro essa série porque ilustra de forma direta o conceito de convergência, tem uma soma finita fácil de memorizar e aparece em diversos contextos, como cálculo de centrais de probabilidade e análise de sinais.

Resposta

(a) Minha sequência favorita é a de Fibonacci, cujos cinco primeiros termos são 1, 1, 2, 3 e 5. Eu a escolho porque ela surge em muitos fenômenos naturais e em algoritmos recursivos.
(b) Minha série convergente favorita é a geométrica sumn=1^inftytfrac12^n, que converge para 1. Gosto dela por ser o exemplo mais simples e didático de convergência de séries infinitas.

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