(a) What is your favorite sequence? List out its first 5 terms.
Explain why it is your favorite.
(b) What is your favorite convergent series? What does it converge to?
Explain why it is your favorite.
Explain why it is your favorite.
(b) What is your favorite convergent series? What does it converge to?
Explain why it is your favorite.
Passo 1
O enunciado pede para escolher uma sequência favorita e uma série convergente favorita, listar termos ou valor de soma, e explicar o porquê. O conteúdo envolve definição de sequência, série infinita e convergência.
Passo 2
Para a parte (a), escolhi a sequência de Fibonacci, cujo enunciado clássico define cada termo (a_n) como a_{n-1}+a_{n-2}, começando com a_1=1 e a_2=1. Logo os cinco primeiros termos são:
1, 1, 2, 3, 5
Gosto dessa sequência porque ela aparece em muita matemática discreta, em biologia (filotaxia) e em algoritmos, mostrando padrões de crescimento natural e aplicações práticas de recursão.
1, 1, 2, 3, 5
Gosto dessa sequência porque ela aparece em muita matemática discreta, em biologia (filotaxia) e em algoritmos, mostrando padrões de crescimento natural e aplicações práticas de recursão.
Passo 3
Para a parte (b), escolhi a série geométrica com razão 1/2, isto é, $
Essa é uma das séries infinitas mais simples que converge.
Sabemos pela fórmula da soma de uma série geométrica que, para |r|<1, $
Essa é uma das séries infinitas mais simples que converge.
Sabemos pela fórmula da soma de uma série geométrica que, para |r|<1, $
Aqui r=1/2, então a soma é 1.
Prefiro essa série porque ilustra de forma direta o conceito de convergência, tem uma soma finita fácil de memorizar e aparece em diversos contextos, como cálculo de centrais de probabilidade e análise de sinais.
Prefiro essa série porque ilustra de forma direta o conceito de convergência, tem uma soma finita fácil de memorizar e aparece em diversos contextos, como cálculo de centrais de probabilidade e análise de sinais.
Resposta
(a) Minha sequência favorita é a de Fibonacci, cujos cinco primeiros termos são 1, 1, 2, 3 e 5. Eu a escolho porque ela surge em muitos fenômenos naturais e em algoritmos recursivos.
(b) Minha série convergente favorita é a geométrica , que converge para 1. Gosto dela por ser o exemplo mais simples e didático de convergência de séries infinitas.
(b) Minha série convergente favorita é a geométrica