Integre a função determinada sobre a superfície fornecida.
15. Integre G(x, y, z)=z-x sobre a porção do gráfico de z= x^{2}+y^{2} acima do triângulo no plano x y tendo vértices (0,0,0), (1,1,0) e (0,1,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}G(x,y,z)\,dS
onde G(x,y,z)=z-x e S é a porção do gráfico
\;z=f(x,y)=x^2+y^2
sobre o triângulo T do plano xy com vértices (0,0), (1,1) e (0,1).
Para resolver, vamos parametrizar S por (x,y)\in T, usar a fórmula
dS=\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dx\,dy
e montar a integral dupla sobre T.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
\;f(x,y)=x^2+y^2:
f_x=2x,\qquad f_y=2y.
Logo
\sqrt{1+f_x^2+f_y^2} =\sqrt{1+(2x)^2+(2y)^2} =\sqrt{1+4x^2+4y^2}.

Passo 3

Sobre S temos z=x^2+y^2, então
G(x,y,f(x,y)) =(z-x)\Big|_{z=x^2+y^2} =(x^2+y^2)-x.
Assim a integral de superfície vira
\iint_{S}(z-x)\,dS =\iint_{T}\bigl(x^2+y^2-x\bigr)\, \sqrt{1+4x^2+4y^2}\;dx\,dy.

Passo 4

Agora descrevemos o triângulo T. Nele temos 0\le y\le1 e, para cada y, x vai de 0 até y. Portanto a integral em coordenadas retangulares é
\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y} \bigl(x^2+y^2-x\bigr)\, \sqrt{1+4x^2+4y^2} \;dx\,dy.

Passo 5

Opcionalmente podemos passar a coordenadas polares
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
onde T fica descrito por
\theta\in\Bigl[\tfrac\pi4,\tfrac\pi2\Bigr], \quad r\in\Bigl[0,\tfrac1{\sin\theta}\Bigr].
Como x^2+y^2=r^2 e dx\,dy=r\,dr\,d\theta, a integral torna-se
\int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2} \int_{r=0}^{1/\sin\theta} \bigl(r^2 - r\cos\theta\bigr)\, \sqrt{1+4r^2}\;r\,dr\,d\theta.

Resposta

A integral de superfície pedida é
\boxed{\iint_{S}(z-x)\,dS =\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y} \bigl(x^2+y^2-x\bigr)\, \sqrt{1+4x^2+4y^2}\;dx\,dy}
ou, em coordenadas polares,
\boxed{ \int_{\theta=\pi/4}^{\pi/2} \int_{r=0}^{1/\sin\theta} \bigl(r^2 - r\cos\theta\bigr)\, \sqrt{1+4r^2}\;r\,dr\,d\theta.}

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