Utilize a integral de superfície no teorema de Stokes para calcular a circulação do campo \mathbf{F} ao redor da curva C na direção indicada.
  1. \mathbf{F}=x^{2} \mathbf{i}+2 x \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}
    C : A elipse 4 x^{2}+y^{2}=4 no plano x y, no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede a circulação \displaystyle \oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} com \mathbf{F}=x^2\mathbf{i}+2x\mathbf{j}+z^2\mathbf{k} ao longo da elipse 4x^2+y^2=4 no plano xy, no sentido anti-horário visto de cima. Vamos usar o teorema de Stokes, que equaciona essa integral de linha como uma integral de superfície do rotacional de \mathbf{F}.

Passo 2

Calcular o rotacional de \mathbf{F}. Escrevendo \mathbf{F}=(P,Q,R) com P=x^2, Q=2x e R=z^2, temos
\curl \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ x^2 & 2x & z^2 \end{vmatrix} = (0)\,\mathbf{i} + (0)\,\mathbf{j} + \bigl(\partial_x Q - \partial_y P\bigr)\,\mathbf{k} =2\,\mathbf{k}.

Passo 3

Escolhemos como superfície S a região plana interna à elipse em z=0. O vetor normal unitário orientado segundo o sentido anti-horário visto de cima é \mathbf{n}=\mathbf{k}.

Passo 4

Pelo teorema de Stokes,
\oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\iint_S(\curl\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS =\iint_S2\,dS.
A região 4x^2+y^2\le4 é uma elipse com semi-eixos a=1 e b=2, cuja área é \pi ab=2\pi. Portanto,
\iint_S2\,dS = 2\cdot(2\pi) = 4\pi.

Resposta

4\pi

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