Integre a função determinada sobre a superfície fornecida.
9. Integre G(x, y, z)=x+y+z sobre a superfície do cubo cortado do primeiro octante pelos planos x=a, y=a, z=a.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície da função G(x,y,z)=x+y+z sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e pelos planos x=a, y=a, z=a. O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar sobre faces planas, usando que em cada face dS=dA.

Passo 2

A integral total se escreve como soma das seis faces:
\iint_{S}G\,dS =\sum_{\text{faces}} \iint_{\text{face}}G\,dS.
Cada face é um retângulo de lado a, e podemos parametrizar usando as duas coordenadas que variam em [0,a].

Passo 3

Faces nas quais uma coordenada vale zero (x =0, y =0, z =0) são simétricas. Por exemplo, em x=0 temos G=y+z e
\iint_{x=0}G\,dS =\int_{0}^{a}\!\!\int_{0}^{a}(y+z)\,dy\,dz =a^3.
Pelas mesmas razões, em y=0 e em z=0 cada integral também vale a^3. A soma dessas três faces é 3a^3.

Passo 4

Faces nas quais uma coordenada vale a ( x=a, y=a, z=a) também são análogas. Em x=a temos G=a+y+z e
\iint_{x=a}G\,dS =\int_{0}^{a}\!\!\int_{0}^{a}(a+y+z)\,dy\,dz =a^3 + \frac{a^3}{2}+\frac{a^3}{2}=2a^3.
Analogamente, cada face y=a e z=a contribui com 2a^3, totalizando 6a^3.

Passo 5

Somando as contribuições:
\iint_{S}G\,dS = 3a^3 + 6a^3 = 9a^3.

Resposta

9a^3

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