Integre a função determinada sobre a superfície fornecida.
9. Integre
sobre a superfície do cubo cortado do primeiro octante pelos planos
.
9. Integre
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície da função
sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos
,
,
e pelos planos
,
,
. O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar sobre faces planas, usando que em cada face
.
Passo 2
A integral total se escreve como soma das seis faces:
Cada face é um retângulo de lado
, e podemos parametrizar usando as duas coordenadas que variam em
.
Passo 3
Faces nas quais uma coordenada vale zero (x
, y
, z
) são simétricas. Por exemplo, em
temos
e
Pelas mesmas razões, em
e em
cada integral também vale
. A soma dessas três faces é
.
Passo 4
Faces nas quais uma coordenada vale
(
,
,
) também são análogas. Em
temos
e
Analogamente, cada face
e
contribui com
, totalizando
.
Passo 5
Somando as contribuições: