\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{\left(x^{2}+3\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{\bigl(x^{2}+3\bigr)^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é reconhecer a paridade da função integranda e usar a propriedade de que a integral de função ímpar num intervalo simétrico converge para zero, desde que a integral imprópria seja convergente (o que ocorre aqui porque para \lvert x\rvert\to\infty o integrando decai como 1/\lvert x\rvert^{3}).

Passo 2

Definimos
f(x) = \frac{x}{\bigl(x^{2}+3\bigr)^{2}}.
Vamos verificar f(-x):
f(-x) = \frac{-x}{\bigl((-x)^{2}+3\bigr)^{2}} = \frac{-x}{\bigl(x^{2}+3\bigr)^{2}} = -\,\frac{x}{\bigl(x^{2}+3\bigr)^{2}} = -\,f(x).
Logo, f é ímpar.

Passo 3

Como f é ímpar e a região de integração (-\infty,\infty) é simétrica em torno de zero, temos
\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = 0.

Resposta

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