Integre G(x, y, z)=x^{2} sobre o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, 0 \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para integrar a função G(x,y,z)=x^{2} sobre a superfície dada pelo cone \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; com 0\le z\le 1. Informações relevantes que recebemos:
  • A superfície S é o cone lateral (sem a base) definido por \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;.
  • O cone é truncado entre \;z=0\; e \;z=1\;, portanto a projeção no plano xy é o disco de raio 1.
  • Queremos calcular a integral de superfície escalar \iint_{S} G(x,y,z)\,dS, ou seja, \iint_{S} x^{2}\,dS.

Passo 2

Escolhemos parametrizar o cone usando coordenadas cilíndricas, porque o cone tem simetria radial e a equação \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; em coordenadas cilíndricas fica \;z=r\;. A parametrização natural é
\mathbf{r}(r,\theta)=\big(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;r\big),
onde os parâmetros variam em
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.
Aqui r é a distância radial no plano xy e \theta é o ângulo polar.

Passo 3

Para calcular dS usamos a fórmula do elemento de área em superfície parametrizada: se \mathbf{r}(u,v) é a parametrização então
dS=\big\lVert \mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\rVert\,du\,dv.
No nosso caso os parâmetros são r e \theta. Calculamos as derivadas parciais:
\mathbf{r}_r=(\cos\theta,\;\sin\theta,\;1), \qquad \mathbf{r}_\theta=(-r\sin\theta,\;r\cos\theta,\;0).
Agora o produto vetorial \mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta. Calculando componente a componente:
\mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta = \big(-r\cos\theta,\;-r\sin\theta,\;r\big).
O módulo é
\big\lVert \mathbf{r}_r\times\mathbf{r}_\theta\big\rVert =\sqrt{(-r\cos\theta)^{2}+(-r\sin\theta)^{2}+r^{2}} =\sqrt{r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta+1)} =\sqrt{2}\,r.
Portanto
dS=\sqrt{2}\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Expressamos a função G(x,y,z)=x^{2} em termos de (r,\theta). Pela parametrização temos x=r\cos\theta, então
G(\mathbf{r}(r,\theta))=x^{2}=(r\cos\theta)^{2}=r^{2}\cos^{2}\theta.
O integrando \;G\,dS\; em coordenadas parametrizadas fica
G\,dS = \big(r^{2}\cos^{2}\theta\big)\cdot\big(\sqrt{2}\,r\,dr\,d\theta\big) =\sqrt{2}\,r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta.

Passo 5

Agora integramos sobre o domínio dos parâmetros: r\in[0,1] e \theta\in[0,2\pi]. A integral é
\iint_{S} x^{2}\,dS =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\sqrt{2}\,r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta.
Como a variável r e \theta separam-se multiplicativamente, separamos as integrais:
\iint_{S} x^{2}\,dS =\sqrt{2}\left(\int_{0}^{1}r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right).
Calculamos cada uma:
  • Para r:
\int_{0}^{1}r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
  • Para \theta: lembrando que \cos^{2}\theta=\tfrac{1+\cos(2\theta)}{2},
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\Big[2\pi+0\Big]=\pi.
Multiplicando tudo:
\iint_{S} x^{2}\,dS = \sqrt{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot\pi=\frac{\pi\sqrt{2}}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi\sqrt{2}}{4}

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