Integre G(x, y, z)=x^{2} sobre o cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, 0 \leq z \leq 1.
Passo 1
O enunciado pede para integrar a função G(x,y,z)=x^{2} sobre a superfície dada pelo cone \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; com 0\le z\le 1. Informações relevantes que recebemos:
A superfície S é o cone lateral (sem a base) definido por \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;.
O cone é truncado entre \;z=0\; e \;z=1\;, portanto a projeção no plano xy é o disco de raio 1.
Queremos calcular a integral de superfície escalar \iint_{S} G(x,y,z)\,dS, ou seja, \iint_{S} x^{2}\,dS.
Passo 2
Escolhemos parametrizar o cone usando coordenadas cilíndricas, porque o cone tem simetria radial e a equação \;z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; em coordenadas cilíndricas fica \;z=r\;. A parametrização natural é