Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes que temos:
- A integral é indefinida (ou seja, o resultado deve conter a constante de integração).
- O integrando é a soma de duas funções:
e . Vou usar a notação usual em LaTeX para seno, escrevendo sempre que aparecer matemática. - Portanto precisamos encontrar uma primitiva de
.
Passo 2
Propriedade importante que vamos usar: linearidade da integral. Isso significa que a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem ser fatoradas:
Aplicando aqui:
Isso facilita porque agora resolvemos duas integrais mais simples separadamente.
Passo 3
Calcular
usando a regra da potência para primitivas. A regra diz:
onde
é constante de integração. Aqui
, logo
Pequeno exemplo para fixar a ideia: com
obtemos
, que você deve reconhecer na prática.
Passo 4
Calcular
. Para isso usamos a relação entre derivada e primitiva das funções trigonométricas. Sabemos que
Logo uma primitiva de
é
, porque derivando
obtemos
. Assim
Verificação rápida:
, bate certinho.
Passo 5
Agora somamos as duas primitivas obtidas e agrupamos as constantes de integração (
vira uma única constante
):
Isso já é a resposta geral. Vou fazer uma checagem final derivando para garantir que voltamos ao integrando.
Passo 6
Checagem final por diferenciação:
ou seja, ao derivar obtemos exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta. Força aí — dá para decorar: potência vira divisão pelo expoente+1; seno vira
.