Calcule as integrais
\int\left(x^{2}+\operatorname{sen} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+\operatorname{sen} x\right)\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • A integral é indefinida (ou seja, o resultado deve conter a constante de integração).
  • O integrando é a soma de duas funções: x^{2} e \operatorname{sen} x. Vou usar a notação usual em LaTeX para seno, escrevendo \sin x sempre que aparecer matemática.
  • Portanto precisamos encontrar uma primitiva de x^{2}+\sin x.

Passo 2

Propriedade importante que vamos usar: linearidade da integral. Isso significa que a integral da soma é a soma das integrais e constantes podem ser fatoradas:
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
Aplicando aqui:
\int\left(x^{2}+\sin x\right)\,dx=\int x^{2}\,dx+\int \sin x\,dx.
Isso facilita porque agora resolvemos duas integrais mais simples separadamente.

Passo 3

Calcular \int x^{2}\,dx usando a regra da potência para primitivas. A regra diz:
\text{se }n\neq -1,\quad \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é constante de integração. Aqui n=2, logo
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C_{1}.
Pequeno exemplo para fixar a ideia: com n=1 obtemos \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}+C, que você deve reconhecer na prática.

Passo 4

Calcular \int \sin x\,dx. Para isso usamos a relação entre derivada e primitiva das funções trigonométricas. Sabemos que
\frac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x.
Logo uma primitiva de \sin x é -\cos x, porque derivando -\cos x obtemos \sin x. Assim
\int \sin x\,dx=-\cos x+C_{2}.
Verificação rápida: \dfrac{d}{dx}\big(-\cos x\big)=-(-\sin x)=\sin x, bate certinho.

Passo 5

Agora somamos as duas primitivas obtidas e agrupamos as constantes de integração ( C_{1}+C_{2} vira uma única constante C):
\int\left(x^{2}+\sin x\right)\,dx=\frac{x^{3}}{3}-\cos x+C.
Isso já é a resposta geral. Vou fazer uma checagem final derivando para garantir que voltamos ao integrando.

Passo 6

Checagem final por diferenciação:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}-\cos x+C\right)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)-\frac{d}{dx}\!(\cos x)+0 = x^{2}-(-\sin x)=x^{2}+\sin x,
ou seja, ao derivar obtemos exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta. Força aí — dá para decorar: potência vira divisão pelo expoente+1; seno vira -\cos.

Resposta

\dfrac{x^{3}}{3}-\cos x + C

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