Calcule as integrais
\int\left(x+3 e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x+3 e^{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é a soma de duas parcelas: x e 3 e^{x}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função cuja derivada seja x+3e^{x}.
  • Não há limites de integração, então o resultado deve conter a constante de integração (geralmente indicada por C).

Passo 2

Propriedades básicas que vamos usar (explicação e motivo):
  • Linearidade da integral: para funções f e g e constante a,
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx
e
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Motivo simples: integral é operação linear — integra-se termo a termo e constantes saem da integral. Isso nos permite separar a integral dada em partes mais fáceis.

Passo 3

Aplicando a linearidade ao nosso caso:
\int\left(x+3 e^{x}\right)\,dx = \int x\,dx + \int 3 e^{x}\,dx.
Usando a regra da constante:
\int 3 e^{x}\,dx = 3\int e^{x}\,dx.
Portanto ficou
\int\left(x+3 e^{x}\right)\,dx = \int x\,dx + 3\int e^{x}\,dx.

Passo 4

Integrando a primeira parcela \int x\,dx (regra do poder):
A fórmula geral (regra do poder) é, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
No nosso caso x é x^{1}, ou seja n=1. Aplicando a fórmula:
\int x\,dx = \int x^{1}\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_{1} = \frac{x^{2}}{2} + C_{1}.
Explicação intuitiva: derivando \frac{x^{2}}{2} obtemos x, então \frac{x^{2}}{2} é uma antiderivada de x.

Passo 5

Integrando a segunda parcela 3\int e^{x}\,dx:
Sabemos que a derivada de e^{x} é e^{x}, logo uma primitiva de e^{x} é ele mesmo. Ou seja,
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C_{2}.
Multiplicando pela constante 3:
3\int e^{x}\,dx = 3\big(e^{x}+C_{2}\big) = 3e^{x} + 3C_{2}.
Como 3C_{2} é apenas outra constante, podemos chamar de C_{3} se quisermos.

Passo 6

Somando as duas antiderivadas obtidas:
\int x\,dx + 3\int e^{x}\,dx = \left(\frac{x^{2}}{2} + C_{1}\right) + \left(3e^{x} + 3C_{2}\right).
Agrupando as constantes C_{1}+3C_{2} como uma constante única C, obtemos a primitiva geral:
\frac{x^{2}}{2} + 3e^{x} + C.
Dica para a prova: sempre que somar constantes de integração você pode juntar tudo em uma única constante C.

Passo 7

Verificação (como checar rápido na prova):
Derive a resposta proposta:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{2}}{2} + 3e^{x} + C\right) = x + 3e^{x},
já que \frac{d}{dx}\frac{x^{2}}{2}=x, \frac{d}{dx}3e^{x}=3e^{x} e \frac{d}{dx}C=0. Como a derivada volta à função original, a primitiva está correta.

Resposta

\frac{x^{2}}{2} + 3e^{x} + C

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