Calcule as integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é a soma de duas parcelas:
e . - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma função cuja derivada seja
. - Não há limites de integração, então o resultado deve conter a constante de integração (geralmente indicada por
).
Passo 2
Propriedades básicas que vamos usar (explicação e motivo):
- Linearidade da integral: para funções
e e constante ,
e
Motivo simples: integral é operação linear — integra-se termo a termo e constantes saem da integral. Isso nos permite separar a integral dada em partes mais fáceis.
Passo 3
Aplicando a linearidade ao nosso caso:
Usando a regra da constante:
Portanto ficou
Passo 4
Integrando a primeira parcela
(regra do poder):
A fórmula geral (regra do poder) é, para ,
A fórmula geral (regra do poder) é, para
No nosso caso
é
, ou seja
. Aplicando a fórmula:
Explicação intuitiva: derivando
obtemos
, então
é uma antiderivada de
.
Passo 5
Integrando a segunda parcela
:
Sabemos que a derivada de é
, logo uma primitiva de
é ele mesmo. Ou seja,
Sabemos que a derivada de
Multiplicando pela constante
:
Como
é apenas outra constante, podemos chamar de
se quisermos.
Passo 6
Somando as duas antiderivadas obtidas:
Agrupando as constantes
como uma constante única
, obtemos a primitiva geral:
Dica para a prova: sempre que somar constantes de integração você pode juntar tudo em uma única constante
.
Passo 7
Verificação (como checar rápido na prova):
Derive a resposta proposta:
Derive a resposta proposta:
já que
,
e
. Como a derivada volta à função original, a primitiva está correta.