1. Integre G(x, y, z)=x y z sobre a superfície do sólido retangular cortado do primeiro octante pelos planos x=a, y=b e z=c.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}G(x,y,z)\,dS
onde G(x,y,z)=x\,y\,z e S é a superfície do paralelepípedo no primeiro octante limitado por x=0, y=0, z=0, x=a, y=b e z=c.
O conteúdo aqui é integral de superfície de uma função escalar sobre faces planas paralelas aos planos coordenados; em cada face usamos
\iint f(x,y,z)\,dS=\iint f(x,y,z)\,dA,
pois o fator de correção \sqrt{1+(\partial z/\partial x)^2+…} vale 1.

Passo 2

Observe que nas três faces situadas em x=0, y=0 e z=0 um dos fatores de G(x,y,z)=x\,y\,z é zero, logo cada integral sobre elas vale zero:
\iint_{x=0}x\,y\,z\,dS =\iint_{y=0}x\,y\,z\,dS =\iint_{z=0}x\,y\,z\,dS=0.

Passo 3

Na face x=a temos G(a,y,z)=a\,y\,z e dS=d y\,d z com (y,z)\in[0,b]\times[0,c]. Então
I_{x=a} =\int_{0}^{b}\!\!\int_{0}^{c}a\,y\,z\,dz\,dy =a\Bigl(\int_{0}^{b}y\,dy\Bigr)\Bigl(\int_{0}^{c}z\,dz\Bigr) =a\frac{b^{2}}{2}\frac{c^{2}}{2} =\frac{a\,b^{2}c^{2}}{4}.

Passo 4

Na face y=b temos G(x,b,z)=x\,b\,z e dS=d x\,d z com (x,z)\in[0,a]\times[0,c]. Logo
I_{y=b} =\int_{0}^{a}\!\!\int_{0}^{c}b\,x\,z\,dz\,dx =b\frac{a^{2}}{2}\frac{c^{2}}{2} =\frac{a^{2}b\,c^{2}}{4}.

Passo 5

Na face z=c temos G(x,y,c)=x\,y\,c e dS=d x\,d y com (x,y)\in[0,a]\times[0,b]. Assim
I_{z=c} =\int_{0}^{a}\!\!\int_{0}^{b}c\,x\,y\,dy\,dx =c\frac{a^{2}}{2}\frac{b^{2}}{2} =\frac{a^{2}b^{2}c}{4}.

Passo 6

Somando as contribuições não nulas:
\iint_{S}x\,y\,z\,dS =I_{x=a}+I_{y=b}+I_{z=c} =\frac{a\,b^{2}c^{2}+a^{2}b\,c^{2}+a^{2}b^{2}c}{4} =\frac{abc\,(ab+ac+bc)}{4}.

Resposta

\iint_{S}x\,y\,z\,dS =\frac{a\,b^{2}c^{2}+a^{2}b\,c^{2}+a^{2}b^{2}c}{4} =\frac{abc\,(ab+ac+bc)}{4}.

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