1. Integre G(x, y, z)=y+z sobre a superfície da cunha no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados e pelos planos x=2 e y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície de G(x,y,z)=y+z sobre a cunha no primeiro octante limitada pelos planos coordenados x=0,y=0,z=0, pelo plano vertical x=2 e pelo plano inclinado y+z=1. O conteúdo é integral de função escalar sobre superfície, que se faz somando as integrais em cada face do sólido.

Passo 2

Vamos decompor a superfície S em cinco faces:
  1. S_1\colon x=0, com \{(0,y,z):y\ge0,z\ge0,y+z\le1\}.
  2. S_2\colon x=2, mesma região em (y,z).
  3. S_3\colon y=0, com \{(x,0,z):0\le x\le2,0\le z\le1\}.
  4. S_4\colon z=0, com \{(x,y,0):0\le x\le2,0\le y\le1\}.
  5. S_5\colon y+z=1, com 0\le x\le2 e y+z=1,\;y,z\ge0.

Passo 3

Faces x=0 e x=2 têm área dS igual a dy\,dz e em ambas G=y+z sobre a região triangular D=\{y\ge0,z\ge0,y+z\le1\}.
I_{x=0} =\iint_{D}(y+z)\,dydz =\int_{y=0}^{1}\!\int_{z=0}^{1-y}(y+z)\,dz\,dy =\frac{1}{3}.
Como a mesma conta vale para x=2,
I_{x=2}=\tfrac13.

Passo 4

Na face y=0 temos (x,0,z) com 0\le x\le2,\;0\le z\le1, dS =dx\,dz e G=z.
I_{y=0} =\int_{x=0}^{2}\!\int_{z=0}^{1}z\,dz\,dx =\int_{0}^{2}\frac{1}{2}\,dx =1.
Na face z=0 temos (x,y,0) com 0\le x\le2,\;0\le y\le1, dS =dx\,dy e G=y.
I_{z=0} =\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{1}y\,dy\,dx =\int_{0}^{2}\frac{1}{2}\,dx =1.

Passo 5

Na face inclinada y+z=1 parametrize por (x,u,1-u), onde 0\le x\le2, 0\le u\le1.
Os vetores r_x=(1,0,0), r_u=(0,1,-1) têm \|r_x\times r_u\|=\sqrt2, e G=y+z=u+(1-u)=1.
I_{y+z=1} =\int_{x=0}^{2}\!\int_{u=0}^{1}1\cdot\sqrt2\,du\,dx =2\sqrt2.

Passo 6

Somando todas as contribuições:
\iint_{S}G\,dS =I_{x=0}+I_{x=2}+I_{y=0}+I_{z=0}+I_{y+z=1} =\frac13+\frac13+1+1+2\sqrt2 =\frac{8}{3}+2\sqrt2.

Resposta

\frac{8}{3}+2\sqrt2.

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