Integre:
\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{4-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede que encontremos uma primitiva (uma antiderivada) da função dada. Em símbolos, precisamos calcular
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}.
Informações e observações úteis que o enunciado dá:
\text{Integrando } \frac{1}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}\quad\text{com respeito a }x.
Domínio: a expressão tem raiz quadrada \sqrt{4-x^{2}}, então faz sentido para |x|\le 2; porém o integrando também tem x^{2} no denominador, logo x\neq 0. Portanto trabalharemos para x\in(-2,0)\cup(0,2). A resposta virá com uma constante de integração C.

Passo 2

Escolhemos uma mudança de variável que torne a raiz \sqrt{4-x^{2}} simples. Uma substituição padrão para termos do tipo \sqrt{a^{2}-x^{2}} é
x = 2\sin\theta.
Agora calculamos as quantidades que precisamos: diferencial e a raiz.
dx = 2\cos\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{4-x^{2}} = \sqrt{4-4\sin^{2}\theta} = 2\cos\theta.
Também note que
x^{2} = 4\sin^{2}\theta.

Passo 3

Substituímos tudo na integral. Começando de
\int \frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}},
substituindo dx, x^{2} e \sqrt{4-x^{2}} obtemos
\int \frac{2\cos\theta\,d\theta}{(4\sin^{2}\theta)\,(2\cos\theta)}.
Agora simplificamos fatores iguais no numerador e denominador: os 2\cos\theta cancelam, ficando
\int \frac{d\theta}{4\sin^{2}\theta}.
Fatorando a constante,
\int \frac{d\theta}{4\sin^{2}\theta} = \frac{1}{4}\int \csc^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Usamos uma fórmula básica de primitiva: a derivada de \cot\theta é -\csc^{2}\theta. Portanto a primitiva de \csc^{2}\theta é
\int \csc^{2}\theta\,d\theta = -\cot\theta + C.
Aplicando isso com o fator \tfrac{1}{4}, a integral em \theta vale
\frac{1}{4}\int \csc^{2}\theta\,d\theta = -\frac{1}{4}\cot\theta + C.

Passo 5

Agora voltamos para a variável x. Precisamos escrever \cot\theta em termos de x. Da substituição x=2\sin\theta temos
\sin\theta = \frac{x}{2}.
E como \cos\theta = \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2} (a raiz positiva corresponde ao intervalo principal onde \cos\theta\ge0), obtemos
\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2}}{\frac{x}{2}} = \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}.
Substituindo em -\tfrac{1}{4}\cot\theta vem
-\frac{1}{4}\cot\theta = -\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}.

Passo 6

Comentário rápido sobre sinais e domínio (importante na prova): a expressão final contém \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}. Para x>0 isso é positivo/negativo conforme a raiz; para x<0 o quociente muda de sinal por causa de x. Isso está de acordo com a primitiva, já que a integral original não é definida em x=0. Assim a primitiva obtida vale para cada ramo (-2,0) ou (0,2), com uma constante C que pode ser diferente em ramos distintos se quisermos uma primitiva contínua lá.
Verificação (opcional mas didática): podemos derivar
F(x) = -\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{4x}
para checar que F'(x)=\dfrac{1}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}. Aplicando regra do produto / quociente e simplificando (passos algébricos mostrados abaixo) obtemos exatamente o integrando original, confirmando a primitiva.

Resposta

\displaystyle -\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{4x}+C

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