Integre:
\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{4-x^{2}}}
\int \frac{d x}{x^{2} \sqrt{4-x^{2}}}
Passo 1
O enunciado pede que encontremos uma primitiva (uma antiderivada) da função dada. Em símbolos, precisamos calcular
Informações e observações úteis que o enunciado dá:
Domínio: a expressão tem raiz quadrada
, então faz sentido para
; porém o integrando também tem
no denominador, logo
. Portanto trabalharemos para
. A resposta virá com uma constante de integração
.
Passo 2
Escolhemos uma mudança de variável que torne a raiz
simples. Uma substituição padrão para termos do tipo
é
Agora calculamos as quantidades que precisamos: diferencial e a raiz.
Também note que
Passo 3
Substituímos tudo na integral. Começando de
substituindo
,
e
obtemos
Agora simplificamos fatores iguais no numerador e denominador: os
cancelam, ficando
Fatorando a constante,
Passo 4
Usamos uma fórmula básica de primitiva: a derivada de
é
. Portanto a primitiva de
é
Aplicando isso com o fator
, a integral em
vale
Passo 5
Agora voltamos para a variável
. Precisamos escrever
em termos de
. Da substituição
temos
E como
(a raiz positiva corresponde ao intervalo principal onde
), obtemos
Substituindo em
vem
Passo 6
Comentário rápido sobre sinais e domínio (importante na prova): a expressão final contém
. Para
isso é positivo/negativo conforme a raiz; para
o quociente muda de sinal por causa de
. Isso está de acordo com a primitiva, já que a integral original não é definida em
. Assim a primitiva obtida vale para cada ramo
ou
, com uma constante
que pode ser diferente em ramos distintos se quisermos uma primitiva contínua lá.
Verificação (opcional mas didática): podemos derivar
para checar que
. Aplicando regra do produto / quociente e simplificando (passos algébricos mostrados abaixo) obtemos exatamente o integrando original, confirmando a primitiva.