Determine as integrais:
\int \frac{x{3}+2}{x{2}-x-6} d x
\int \frac{x{3}+2}{x{2}-x-6} d x
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado o integral
. - Informação importante: o numerador é um polinômio de grau
e o denominador é um polinômio de grau . - O objetivo é encontrar a primitiva (antiderivada) dessa função racional, ou seja, uma expressão
tal que . - Não há outras informações (como limites); queremos a integral indefinida.
Passo 2
Primeiro passo prático: reduzir a fração usando divisão de polinômios porque o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador. A ideia da divisão é escrever
onde
é um polinômio (o quociente) e
é um polinômio de grau menor que
(o resto). Vamos fazer a divisão termo a termo.
Dividindo
por
obtemos
. Multiplicamos o denominador por
:
Subtraindo isso do numerador
obtemos o resto parcial
Agora dividimos
por
e obtemos
. Multiplicamos o denominador por
:
Subtraindo do resto parcial:
Portanto a divisão deu quociente
e resto
. Assim
Passo 3
Agora vamos tratar a fração
. Primeiro fatoramos o denominador para facilitar decomposição em frações simples:
Essa fatoração vem de encontrar dois números cujo produto é
e cuja soma é
; são
e
.
Então precisamos decompor
em frações parciais do tipo
, onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Montamos a igualdade das frações parciais:
Colocando num único denominador obtemos
Como os denominadores são iguais, os numeradores devem ser iguais para todo
Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes do polinômio (coeficiente de
e termo constante) obtemos o sistema linear:
Resolvendo: de (A=7-B]. Substituindo na segunda equação:
Então
Logo a decomposição é
]
Então
Logo a decomposição é
Passo 5
Reescrevendo a integral inicial com o resultado da divisão e da decomposição:
Agora integramos termo a termo. Lembremos das regras básicas:
-
. -
. -
(isto vem da substituição , ).
Aplicando essas regras:
Passo 6
Somando todas as parcelas e adicionando a constante de integração
, a primitiva final é