Determine as integrais:
\int \frac{x{3}+2}{x{2}-x-6} d x

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado o integral \displaystyle \int \frac{x^{3}+2}{x^{2}-x-6}\,dx.
  • Informação importante: o numerador é um polinômio de grau 3 e o denominador é um polinômio de grau 2.
  • O objetivo é encontrar a primitiva (antiderivada) dessa função racional, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{3}+2}{x^{2}-x-6}.
  • Não há outras informações (como limites); queremos a integral indefinida.

Passo 2

Primeiro passo prático: reduzir a fração usando divisão de polinômios porque o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador. A ideia da divisão é escrever
\frac{x^{3}+2}{x^{2}-x-6}=Q(x)+\frac{R(x)}{x^{2}-x-6},
onde Q(x) é um polinômio (o quociente) e R(x) é um polinômio de grau menor que 2 (o resto). Vamos fazer a divisão termo a termo.
Dividindo x^{3} por x^{2} obtemos x. Multiplicamos o denominador por x:
x\cdot(x^{2}-x-6)=x^{3}-x^{2}-6x.
Subtraindo isso do numerador x^{3}+0x^{2}+0x+2 obtemos o resto parcial
(x^{3}+0x^{2}+0x+2)-(x^{3}-x^{2}-6x)=x^{2}+6x+2.
Agora dividimos x^{2} por x^{2} e obtemos +1. Multiplicamos o denominador por 1:
1\cdot(x^{2}-x-6)=x^{2}-x-6.
Subtraindo do resto parcial:
(x^{2}+6x+2)-(x^{2}-x-6)=7x+8.
Portanto a divisão deu quociente Q(x)=x+1 e resto R(x)=7x+8. Assim
\frac{x^{3}+2}{x^{2}-x-6}=x+1+\frac{7x+8}{x^{2}-x-6}.

Passo 3

Agora vamos tratar a fração \dfrac{7x+8}{x^{2}-x-6}. Primeiro fatoramos o denominador para facilitar decomposição em frações simples:
x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
Essa fatoração vem de encontrar dois números cujo produto é -6 e cuja soma é -1; são -3 e 2.
Então precisamos decompor
\frac{7x+8}{(x-3)(x+2)}
em frações parciais do tipo \dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+2}, onde A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Montamos a igualdade das frações parciais:
\frac{7x+8}{(x-3)(x+2)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}.
Colocando num único denominador obtemos
\frac{7x+8}{(x-3)(x+2)}=\frac{A(x+2)+B(x-3)}{(x-3)(x+2)}.
Como os denominadores são iguais, os numeradores devem ser iguais para todo x\): \[7x+8 = A(x+2)+B(x-3).
Expandindo o lado direito:
7x+8 = (A+B)x + (2A-3B).
Comparando coeficientes do polinômio (coeficiente de x e termo constante) obtemos o sistema linear:
\begin{cases} A+B = 7,\\[4pt] 2A-3B = 8. \end{cases}
Resolvendo: de (A=7-B]. Substituindo na segunda equação:
2(7-B)-3B=8 \implies 14-2B-3B=8 \implies 14-5B=8 \implies 5B=6 \implies B=\frac{6}{5}.
Então
A=7-B=7-\frac{6}{5}=\frac{35-6}{5}=\frac{29}{5}.
Logo a decomposição é
\frac{7x+8}{(x-3)(x+2)}=\frac{29/5}{x-3}+\frac{6/5}{x+2}.]

Passo 5

Reescrevendo a integral inicial com o resultado da divisão e da decomposição:
\int \frac{x^{3}+2}{x^{2}-x-6}\,dx = \int\left(x+1+\frac{29/5}{x-3}+\frac{6/5}{x+2}\right)\,dx.
Agora integramos termo a termo. Lembremos das regras básicas:
  • \displaystyle \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
  • \displaystyle \int 1\,dx=x.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C (isto vem da substituição u=x-a, du=dx).
Aplicando essas regras:
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},\qquad \int 1\,dx=x,
\int \frac{29/5}{x-3}\,dx=\frac{29}{5}\ln|x-3|, \qquad \int \frac{6/5}{x+2}\,dx=\frac{6}{5}\ln|x+2|.

Passo 6

Somando todas as parcelas e adicionando a constante de integração C, a primitiva final é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}+x+\frac{29}{5}\ln|x-3|+\frac{6}{5}\ln|x+2|+C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+x+\frac{29}{5}\ln|x-3|+\frac{6}{5}\ln|x+2|+C

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