Determine as integrais:
\int \frac{x+5}{x^{3}-2 x^{2}+x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x+5}{x^{3}-2x^{2}+x}\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: temos uma função racional cujo numerador é \,x+5\, e o denominador é o polinômio \,x^{3}-2x^{2}+x. A tarefa é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função.

Passo 2

Primeiro passo técnico útil: olhar o denominador e fatorá-lo para ver a estrutura de raízes e fatores repetidos, o que nos orienta a decompor em frações parciais. Vamos fatorar \,x^{3}-2x^{2}+x\,.
Isolamos fator comum \,x\, e obtemos:
x^{3}-2x^{2}+x = x\,(x^{2}-2x+1).
Perceba que \,x^{2}-2x+1 = (x-1)^{2}. Logo, o denominador fatorado é
x^{3}-2x^{2}+x = x\,(x-1)^{2}.

Passo 3

Agora a decomposição em frações parciais: para um fator linear simples \,x\, usamos um termo \dfrac{A}{x}. Para um fator linear repetido (x-1)^{2} devemos incluir termos para cada potência até a multiplicidade: \dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{(x-1)^{2}}. Assim propomos
\frac{x+5}{x(x-1)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}},
onde A,B,C são constantes a determinar.
Breve justificativa didática: toda razão onde o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador fatorado em fatores lineares permite essa escrita; fatores repetidos geram termos com todas as potências até a multiplicidade.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados pela expressão x(x-1)^{2} para obter uma identidade polinomial (sem denominadores):
x+5 = A(x-1)^{2} + B\,x(x-1) + C\,x.
Essa igualdade vale para todo x (exceto pontos onde havia divisão por zero), então os coeficientes dos polinômios dos dois lados devem coincidir.

Passo 5

Expandimos o lado direito e agrupamos termos por potências de x.
Expandindo:
A(x-1)^{2} = A(x^{2}-2x+1)=A x^{2}-2A x + A,
B x(x-1)=B(x^{2}-x)=B x^{2}-B x,
C x = C x.
Somando:
A x^{2}-2A x + A + B x^{2}-B x + C x = (A+B)x^{2} + (-2A - B + C)x + A.
Comparando com o lado esquerdo x+5, que equivale a 0\cdot x^{2} + 1\cdot x + 5, obtemos o sistema para os coeficientes:
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] -2A - B + C = 1,\\[4pt] A = 5. \end{cases}]

Passo 6

Da terceira equação temos diretamente A=5. Substituindo em A+B=0 vem B=-A=-5. Substituindo A e B na segunda equação:
-2\cdot 5 - (-5) + C = 1 \quad\Rightarrow\quad -10 +5 + C = 1 \quad\Rightarrow\quad -5 + C = 1,
portanto C = 6.
Assim os coeficientes são A=5, B=-5, C=6, e a decomposição é
\frac{x+5}{x(x-1)^{2}}=\frac{5}{x}-\frac{5}{x-1}+\frac{6}{(x-1)^{2}}.

Passo 7

Integramos termo a termo. Lembrando as regras básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C porque \frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-1}\,dx=\ln|x-1|+C pela mesma razão (regra da substituição simples).
  • \displaystyle \int (x-1)^{-2}\,dx = \int u^{-2}\,du com u=x-1. Temos \int u^{-2}\,du = -u^{-1}+C, então \int (x-1)^{-2}\,dx = -\frac{1}{x-1}+C.
Aplicando esses resultados aos termos com seus coeficientes (sem somar as constantes de integração separadas, que serão agrupadas no final):
\int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln|x|,
\int \left(-\frac{5}{x-1}\right)\,dx = -5\ln|x-1|,
\int \frac{6}{(x-1)^{2}}\,dx = 6\left(-\frac{1}{x-1}\right) = -\frac{6}{x-1}.
(Aqui estou apresentando as primitivas de cada parcela; a soma delas é a primitiva da função original.)

Resposta

5\ln|x|-5\ln|x-1|-\frac{6}{x-1}+C

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