Determine as integrais:
\int \frac{x+5}{x^{3}-2 x^{2}+x} d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x+5}{x^{3}-2x^{2}+x}\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: temos uma função racional cujo numerador é \,x+5\, e o denominador é o polinômio \,x^{3}-2x^{2}+x. A tarefa é encontrar uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função.
Passo 2
Primeiro passo técnico útil: olhar o denominador e fatorá-lo para ver a estrutura de raízes e fatores repetidos, o que nos orienta a decompor em frações parciais. Vamos fatorar \,x^{3}-2x^{2}+x\,.
Isolamos fator comum \,x\, e obtemos:
x^{3}-2x^{2}+x = x\,(x^{2}-2x+1).
Perceba que \,x^{2}-2x+1 = (x-1)^{2}. Logo, o denominador fatorado é
x^{3}-2x^{2}+x = x\,(x-1)^{2}.
Passo 3
Agora a decomposição em frações parciais: para um fator linear simples \,x\, usamos um termo \dfrac{A}{x}. Para um fator linear repetido (x-1)^{2} devemos incluir termos para cada potência até a multiplicidade: \dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{(x-1)^{2}}. Assim propomos
Breve justificativa didática: toda razão onde o numerador tem grau menor que o denominador e o denominador fatorado em fatores lineares permite essa escrita; fatores repetidos geram termos com todas as potências até a multiplicidade.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados pela expressão x(x-1)^{2} para obter uma identidade polinomial (sem denominadores):
x+5 = A(x-1)^{2} + B\,x(x-1) + C\,x.
Essa igualdade vale para todo x (exceto pontos onde havia divisão por zero), então os coeficientes dos polinômios dos dois lados devem coincidir.
Passo 5
Expandimos o lado direito e agrupamos termos por potências de x.
Expandindo:
A(x-1)^{2} = A(x^{2}-2x+1)=A x^{2}-2A x + A,
B x(x-1)=B(x^{2}-x)=B x^{2}-B x,
C x = C x.
Somando:
A x^{2}-2A x + A + B x^{2}-B x + C x = (A+B)x^{2} + (-2A - B + C)x + A.
Comparando com o lado esquerdo x+5, que equivale a 0\cdot x^{2} + 1\cdot x + 5, obtemos o sistema para os coeficientes:
\begin{cases} A+B = 0,\\[4pt] -2A - B + C = 1,\\[4pt] A = 5. \end{cases}]
Passo 6
Da terceira equação temos diretamente A=5. Substituindo em A+B=0 vem B=-A=-5. Substituindo A e B na segunda equação:
-2\cdot 5 - (-5) + C = 1 \quad\Rightarrow\quad -10 +5 + C = 1 \quad\Rightarrow\quad -5 + C = 1,
portanto C = 6.
Assim os coeficientes são A=5, B=-5, C=6, e a decomposição é