1. Seja S a porção do cilindro y=\ln x no primeiro octante, cuja projeção paralela ao eixo y sobre o plano x z é o retângulo R_{x z} : 1 \leq x \leq e, 0 \leq z \leq 1. Seja n o vetor unitário normal a S que aponta no sentido oposto ao plano x z. Encontre o fluxo de \mathbf{F}= 2 y \mathbf{j}+z \mathbf{k} através de S na direção de \mathbf{n}.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo do campo \mathbf{F}=2y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k} através da superfície S dada por
y=\ln x,\quad 1\le x\le e,\;\;0\le z\le1
no primeiro octante, com o vetor normal apontando para longe do plano xz (isto é, com componente em y positiva). Vamos usar parametrização de S e a fórmula do fluxo
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\;\iint_{R}\mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v))\cdot\bigl(\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\bigr)\,du\,dv.

Passo 2

Parametrizamos S por
\mathbf{r}(x,z)=\langle x,\ln x,z\rangle,
com (x,z)\in R=\{1\le x\le e,\;0\le z\le1\}.
Os vetores parciais são
\mathbf{r}_x=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial x} =\langle1,\tfrac1x,0\rangle, \qquad \mathbf{r}_z=\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial z} =\langle0,0,1\rangle.

Passo 3

O plano xz é y=0; o normal que aponta para longe dele tem componente em y positiva. Note que
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_z =\langle\tfrac1x,-1,0\rangle
tem componente em y negativa, então escolhemos
\mathbf{r}_z\times\mathbf{r}_x =\langle-\tfrac1x,1,0\rangle
como vetor área orientado. Assim,
d\mathbf{S} =\bigl(\mathbf{r}_z\times\mathbf{r}_x\bigr)\,dx\,dz =\langle-\tfrac1x,1,0\rangle\,dx\,dz.

Passo 4

No ponto \mathbf{r}(x,z) temos
\mathbf{F}(\mathbf{r}(x,z)) =\langle0,\,2\ln x,\,z\rangle.
O produto escalar com o vetor área é
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} =\langle0,2\ln x,z\rangle\cdot\langle-\tfrac1x,1,0\rangle\,dx\,dz =2\ln x\,dx\,dz.
Logo o fluxo é
\iint_{R}2\ln x\,dx\,dz.

Passo 5

Compute
\int_{z=0}^{1}\!\int_{x=1}^{e}2\ln x\,dx\,dz =\int_{0}^{1}\Bigl[2\bigl(x\ln x - x\bigr)\Bigr]_{1}^{e}dz =\int_{0}^{1}2\cdot1\,dz =2.

Resposta

O fluxo de \mathbf{F} através de S na direção de \mathbf{n} é 2.

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