Integrem as funções compostas:
b)
Resp.: b)
;
b)
Resp.: b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para integrar a função composta
em relação a
. Aqui, estamos trabalhando com integração de funções que envolvem frações algébricas. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma forma que facilite a integração, possivelmente utilizando uma substituição que simplifique a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a integral:
Perceba que no numerador temos
e no denominador
. Isso sugere que podemos usar uma substituição onde o denominador é uma função cuja derivada está ligada ao numerador.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que:
No entanto, queremos expressar toda a integral em termos de
, então vamos rearranjar a substituição.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando nossa substituição:
Os termos
se cancelam:
Aqui, simplificamos a constante
para
.
Passo 5
Agora, a integral ficou bem simples:
A integral de
em relação a
é o logaritmo natural de
, ou seja:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta para a expressão original em termos de
e
:
Como
é sempre positivo, podemos remover os valores absolutos.