Integrem as funções compostas:
b) integral 10 yx^2+y^2 d y
Resp.: b) integral f(x, y) d y=5 ln (x^2+y^2)+C;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para integrar a função composta 10yx^2 + y^2 em relação a y. Aqui, estamos trabalhando com integração de funções que envolvem frações algébricas. Para resolver isso, vamos precisar identificar uma forma que facilite a integração, possivelmente utilizando uma substituição que simplifique a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a integral:
integral 10yx^2 + y^2 , dy
Perceba que no numerador temos 10y e no denominador x^2 + y^2. Isso sugere que podemos usar uma substituição onde o denominador é uma função cuja derivada está ligada ao numerador.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = x^2 + y^2
Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a y:
dudy = 2y
Isso significa que:
dy = du2y
No entanto, queremos expressar toda a integral em termos de u, então vamos rearranjar a substituição.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando nossa substituição:
integral 10yu cdot du2y = integral 10yu cdot du2y
Os termos y se cancelam:
integral 102u , du = 5 integral 1u , du
Aqui, simplificamos a constante 10/2 para 5.

Passo 5

Agora, a integral ficou bem simples:
5 integral 1u , du
A integral de 1u em relação a u é o logaritmo natural de u, ou seja:
5 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta para a expressão original em termos de x e y:
5 ln|x^2 + y^2| + C
Como x^2 + y^2 é sempre positivo, podemos remover os valores absolutos.

Resposta

integral 10yx^2 + y^2 , dy = 5 ln(x^2 + y^2) + C

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