Integrem as funções compostas:
f) integral0^1(e^2 x+1) d x
Resp.: f) integral f(x) d x=12(e^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que integrar a função composta $ \int_{0}{1}\left(e{2x} + 1\right) dx $. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente à integração de funções exponenciais e constantes. Para resolver, vamos precisar saber como integrar $ e^{ax} $ e constantes como 1.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral0^1(e^2x + 1) dx = integral0^1 e^2x dx + integral0^1 1 dx
Dessa forma, a gente lida com cada parte individualmente.

Passo 3

Vamos começar com a primeira integral: $ \int e^{2x} dx $.
Sabemos que a integral de $ e^{ax} $ em relação a $ x $ é $ \frac{1}{a} e^{ax} + C $, onde $ C $ é a constante de integração. Aqui, $ a = 2 $, então:
integral e^2x dx

Passo 4

Agora, vamos integrar a segunda parte: $ \int 1 dx $.
A integral de uma constante, nesse caso 1, é simplesmente a constante multiplicada por $ x $:
integral 1 dx

Passo 5

Juntando as duas integrais que calculamos:
integral0^1(e^2x + 1) dx = [ 12 e^2x ]0^1 + [ x ]0^1
Agora, vamos avaliar essas expressões nos limites de 0 a 1.

Passo 6

Primeiro, avaliamos $ \frac{1}{2} e^{2x} $ de 0 a 1:
12 e^2x
Sabemos que $ e^{0} = 1 $, então:
12 e^2x |0^1 = 12 e^2(1) - 12 e^2(0) = 12 e^2 - 12 e^0

Passo 7

Agora, avaliamos $ x $ de 0 a 1:
x

Passo 8

Finalmente, somamos os resultados das duas partes:
e^2 - 12 + 1 = e^2 - 1 + 22 = e^2 + 12

Resposta

A integral definida é igual a $ \frac{e^{2} + 1}{2} $.

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