Um inteiro a é um quadrado perfeito se existe um inteiro b tal que a=b^2. Mostre que se m e n são quadrados perfeitos, então m cdot n é um quadrado perfeito.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois números inteiros, m e n, que são quadrados perfeitos. Isso significa que existem inteiros b e c tais que m = b^2 e n = c^2. Nosso objetivo é mostrar que o produto desses dois números, m cdot n, também é um quadrado perfeito. Para resolver isso, vamos utilizar a definição de quadrado perfeito e propriedades da multiplicação de potências.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de quadrado perfeito: um número inteiro a é um quadrado perfeito se existe um inteiro b tal que a = b^2. Sabemos que m e n são quadrados perfeitos, então podemos escrever:
m = b^2 e n = c^2
onde b e c são inteiros.

Passo 3

Agora, vamos considerar o produto m cdot n. Substituímos m e n pelas expressões que encontramos:
m cdot n = b^2 cdot c^2

Passo 4

Utilizamos a propriedade das potências que diz que a^k cdot a^l = a^k+l. No nosso caso, temos potências diferentes, mas a propriedade que nos interessa é que (a cdot b)^k = a^k cdot b^k. Assim:
b^2 cdot c^2 = (b cdot c)^2

Passo 5

Portanto, podemos reescrever o produto m cdot n como:
m cdot n = (b cdot c)^2
Aqui, d = b cdot c é um inteiro, já que b e c são inteiros.

Passo 6

Pela definição de quadrado perfeito, se m cdot n = d^2 onde d é um inteiro, então m cdot n é um quadrado perfeito. Assim, mostramos que o produto de dois quadrados perfeitos também é um quadrado perfeito.

Resposta

Portanto, se m e n são quadrados perfeitos, então m cdot n também é um quadrado perfeito, pois m cdot n = (b cdot c)^2, onde b e c são inteiros que satisfazem m = b^2 e n = c^2.

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