Um inteiro a é um quadrado perfeito se existe um inteiro
tal que
. Mostre que se
e
são quadrados perfeitos, então
é um quadrado perfeito.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos dois números inteiros,
e
, que são quadrados perfeitos. Isso significa que existem inteiros
e
tais que
e
. Nosso objetivo é mostrar que o produto desses dois números,
, também é um quadrado perfeito. Para resolver isso, vamos utilizar a definição de quadrado perfeito e propriedades da multiplicação de potências.
Passo 2
Primeiro, lembramos a definição de quadrado perfeito: um número inteiro
é um quadrado perfeito se existe um inteiro
tal que
. Sabemos que
e
são quadrados perfeitos, então podemos escrever:
onde
e
são inteiros.
Passo 3
Agora, vamos considerar o produto
. Substituímos
e
pelas expressões que encontramos:
Passo 4
Utilizamos a propriedade das potências que diz que
. No nosso caso, temos potências diferentes, mas a propriedade que nos interessa é que
. Assim:
Passo 5
Portanto, podemos reescrever o produto
como:
Aqui,
é um inteiro, já que
e
são inteiros.
Passo 6
Pela definição de quadrado perfeito, se
onde
é um inteiro, então
é um quadrado perfeito. Assim, mostramos que o produto de dois quadrados perfeitos também é um quadrado perfeito.
Resposta
Portanto, se
e
são quadrados perfeitos, então
também é um quadrado perfeito, pois
, onde
e
são inteiros que satisfazem
e
.