y^prime+p(x) y=q(x) y^n
onde p(x) e q(x) são funções contínuas em algum intervalo I da reta e n in Re, é conhecida como a equação de Bernoulli. Se n neq 0 e n neq 1 a equação não é linear, mas pode ser transformada em uma equação linear fazendo a mudança de variável z=y^1-n. Demostre isto, e resolva as equações:
a) y(6 x^2 y^2-x+1)+2 x y^prime=0
b) y^prime=y+e^-3 x y^4
c) 2 x^3 y^prime=y(y^2+3 x^2)
d) x^3 y^prime=2 y(raiz[3]y+3 x^2)

Passo 1

A equação dada é da forma de Bernoulli, que é
y'+p(x)y=q(x)y^n,
com p(x) e q(x) contínuas em I e nin R, nneq0,1. Vamos demonstrar que, ao fazer a mudança de variável z=y^1-n, obtemos uma equação linear em z e em seguida resolver cada item.

Passo 2

Começando da equação geral
y'+p(x)y=q(x)y^n,
faça z=y^1-n. Então
z'=ddxl(y^1-nr)=(1-n)y^-ny'
Isolando y' e substituindo de volta na equação de Bernoulli, obtemos
11-n,y^n z'+p(x)y=q(x)y^n
Dividindo por y^n e usando y^1-n=z, chega-se à equação linear
z'+(1-n)p(x),z=(1-n)q(x)

Passo 3

Para o item (a):
A equação
yl(6x^2y^2 -x+1r)+2x y'=0
pode ser reescrita como
y'= -6x^2y^3-(x-1)y2x =-x-12xy -3x,y^3
Identificamos p(x)=1-x2x,;q(x)=-3x,;n=3. Logo 1-n=-2 e a equação em z=y^-2 é
$$z’+(1-n)p(x)z= (1-n)q(x)
\quad\Longrightarrow\quad z’+\frac{x-1}{x}z=6x.$$
O fator integrante é z'+(1-n)p(x)z= (1-n)q(x) Longrightarrow z'+x-1xz=6x, então
$$z\frac{ex}{x}=\int6x\frac{ex}{x},dx +C=6e^x+C
\quad\Longrightarrow\quad z=(6x+Cx e^{-x}).$$
Voltando a mu=e^integral (x-1)/x,dx=e^x/x:
$$y^{-2}=6x+Cx e^{-x}
\quad\Longrightarrow\quad y=\pm \frac{1}{\sqrt{x\bigl(6+Ce^{-x}\bigr)}}.$$

Passo 4

Para o item (b):
Temos
y'=y+e^-3xy^4Longrightarrow y'-y=e^-3xy^4
Logo p(x)=-1,;q(x)=e^-3x,;n=4,;1-n=-3. Com z=y^-3 a equação linear é
z'+3z=-3e^-3x
O fator integrante é e^3x, daí
$$z e^{3x}=\int -3e{-3x}e{3x}dx +C=-3x+C
\quad\Longrightarrow\quad z=(C-3x)e^{-3x}.$$
Assim
$$y{-3}=(C-3x)e{-3x}
\quad\Longrightarrow\quad y=\Bigl(\frac{e{3x}}{C-3x}\Bigr){1/3}.$$

Passo 5

Para o item ©:
A equação
2x^3y'=yl(y^2+3x^2r)
fica
y'=y^32x^3+3y2x
Logo p(x)=-32x,;q(x)=12x^3,;n=3,;1-n=-2. Com z=y^-2:
z'+3xz=-1x^3
O fator integrante é x^3, então
$$z x^3=\int -1,dx +C=-x+C
\quad\Longrightarrow\quad z=\frac{C-x}{x^3}.$$
Logo
$$y{-2}=\frac{C-x}{x3}
\quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{x^{3/2}}{\sqrt{C-x}}.$$

Passo 6

Para o item (d):
A equação
$$x3y’=2y\bigl(y{1/3}+3x^2\bigr)
;\Longrightarrow;y’=\frac{2y{4/3}}{x3}+\frac{6y}{x}.$$
Temos x^3y'=2yl(y^1/3+3x^2r) ;Longrightarrow;y'=2y^4/3x^3+6yx. Com p(x)=-6x,;q(x)=2x^3,;n=4/3,;1-n=-1/3 vem
z=y^-1/3
O fator integrante é z'+2xz=-23x^3, então
$$z x^2=\int -\frac{2}{3x}dx +C=-\frac{2}{3}\ln|x|+C
\quad\Longrightarrow\quad z=\frac{C-\tfrac{2}{3}\ln|x|}{x^2}.$$
Finalmente
$$y{-1/3}=\frac{C-\tfrac{2}{3}\ln|x|}{x2}
\quad\Longrightarrow\quad y=\Bigl(\frac{x2}{C-\tfrac{2}{3}\ln|x|}\Bigr)3.$$

Resposta

As soluções gerais são:
a) y=pml[x,(6+Ce^-x)r]^-1/2,
b) y=l[e^3x/(C-3x)r]^1/3,
c) y=pmdfracx^3/2raizC-x,
d) y=l[x^2/(C-tfrac23ln|x|)r]^3

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