onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta e
, é conhecida como a equação de Bernoulli. Se
e
a equação não é linear, mas pode ser transformada em uma equação linear fazendo a mudança de variável
. Demostre isto, e resolva as equações:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
A equação dada é da forma de Bernoulli, que é
com
e
contínuas em
e
,
. Vamos demonstrar que, ao fazer a mudança de variável
, obtemos uma equação linear em
e em seguida resolver cada item.
Passo 2
Começando da equação geral
faça
. Então
Isolando
e substituindo de volta na equação de Bernoulli, obtemos
Dividindo por
e usando
, chega-se à equação linear
Passo 3
Para o item (a):
A equação
pode ser reescrita como
Identificamos
. Logo
e a equação em
é
$$z’+(1-n)p(x)z= (1-n)q(x)
\quad\Longrightarrow\quad z’+\frac{x-1}{x}z=6x.$$
O fator integrante é
, então
$$z\frac{ex}{x}=\int6x\frac{ex}{x},dx +C=6e^x+C
\quad\Longrightarrow\quad z=(6x+Cx e^{-x}).$$
Voltando a
:
$$y^{-2}=6x+Cx e^{-x}
\quad\Longrightarrow\quad y=\pm \frac{1}{\sqrt{x\bigl(6+Ce^{-x}\bigr)}}.$$
Passo 4
Para o item (b):
Temos
Logo
. Com
a equação linear é
O fator integrante é
, daí
$$z e^{3x}=\int -3e{-3x}e{3x}dx +C=-3x+C
\quad\Longrightarrow\quad z=(C-3x)e^{-3x}.$$
Assim
$$y{-3}=(C-3x)e{-3x}
\quad\Longrightarrow\quad y=\Bigl(\frac{e{3x}}{C-3x}\Bigr){1/3}.$$
Passo 5
Para o item ©:
A equação
fica
Logo
. Com
:
O fator integrante é
, então
$$z x^3=\int -1,dx +C=-x+C
\quad\Longrightarrow\quad z=\frac{C-x}{x^3}.$$
Logo
$$y{-2}=\frac{C-x}{x3}
\quad\Longrightarrow\quad y=\pm\frac{x^{3/2}}{\sqrt{C-x}}.$$
Passo 6
Para o item (d):
A equação
$$x3y’=2y\bigl(y{1/3}+3x^2\bigr)
;\Longrightarrow;y’=\frac{2y{4/3}}{x3}+\frac{6y}{x}.$$
Temos
. Com
vem
O fator integrante é
, então
$$z x^2=\int -\frac{2}{3x}dx +C=-\frac{2}{3}\ln|x|+C
\quad\Longrightarrow\quad z=\frac{C-\tfrac{2}{3}\ln|x|}{x^2}.$$
Finalmente
$$y{-1/3}=\frac{C-\tfrac{2}{3}\ln|x|}{x2}
\quad\Longrightarrow\quad y=\Bigl(\frac{x2}{C-\tfrac{2}{3}\ln|x|}\Bigr)3.$$
Resposta
As soluções gerais são:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)