Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do seguintes conjuntos:
(k) O conjunto é a região compreendida entre o gráfico de y=sen x, para 0 <= x <= pi.

Passo 1

Estamos lidando com o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região sob a curva y = sin x de x = 0 até x = pi. O tópico é cálculo de volume de sólidos de revolução, e vamos usar o método dos discos, além de integrar sin^2 x.

Passo 2

Pelo método dos discos, cada fatia transversal em x é um círculo de raio y = sin x. A área do disco é
A(x) = pi l(sin xr)^2
e o volume é a integral dessa área de x = 0 a x = pi:
V = integral0^pi A(x),dx = pi integral0^pi sin^2 x,dx

Passo 3

Para calcular integral0^pi sin^2 x,dx, usamos a identidade trigonométrica
sin^2 x = 1 - cos(2x)2
Logo,
integral0^pi sin^2 x,dx = integral0^pi 1 - cos(2x)2,dx = 12 integral0^pi 1,dx - 12 integral0^pi cos(2x),dx

Passo 4

Calculando cada parte:
12 integral0^pi 1,dx = 12[x]0^pi = pi2,
12 integral0^pi cos(2x),dx = 12 [sin(2x)2]0^pi = 14(sin(2pi) - sin 0) = 0

Passo 5

Portanto,
integral0^pi sin^2 x,dx = pi2

Passo 6

Substituindo de volta em V = pi integral0^pi sin^2 x,dx, obtemos
V = pi cdot pi2 = pi^22

Resposta

pi^22

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