Uma mistura de magnetita (minério de ferro e densidade: 5,05
) e cristobalita (
e densidade:
), ambas com diâmetros de partícula na faixa de 20 a
e esfericidade 0,8 , será separada em um elutriador de 50 cm de diâmetro, com água a
. Pede-se:
a) Qual deve ser a vazão mínima de água para se obter magnetita pura em uma das frações?
b) Qual será a faixa de diâmetros da magnetita pura assim obtida?
c) Supondo que a distribuição de tamanho das partículas é dada por:
e a razão ponderal magnetita/cristobalita é 2:3, determinar a produção de magnetita pura obtida, se são alimentados
da mistura ao elutriador.
d) Determinar o percentual, em massa, de magnetita no material sólido arrastado.
a) Qual deve ser a vazão mínima de água para se obter magnetita pura em uma das frações?
b) Qual será a faixa de diâmetros da magnetita pura assim obtida?
c) Supondo que a distribuição de tamanho das partículas é dada por:
d) Determinar o percentual, em massa, de magnetita no material sólido arrastado.
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado pede e quais dados foram dados.
Perguntas do enunciado:
- (a) Qual deve ser a vazão mínima de água para se obter magnetita pura em uma das frações?
- (b) Qual será a faixa de diâmetros da magnetita pura assim obtida?
- (c) Dada a distribuição de tamanhos
com em e razão ponderal magnetita/cristobalita igual a , determinar a produção de magnetita pura se a alimentação é . - (d) Determinar o percentual, em massa, de magnetita no material sólido arrastado.
Dados fornecidos (vou numerar e deixar explícito o que usarei):
- Densidade da magnetita:
- Densidade da cristobalita (SiO
): - Faixa de diâmetros (ambas as fases):
entre e - Esfericidade das partículas:
- Elutriador: diâmetro
Área da seção transversal: - Fluido: água a
. Vou usar propriedades padrão da água a :
e viscosidade dinâmica - Distribuição de tamanhos dada em (c):
- Alimentação total:
da mistura; razão magnetita:cristobalita = (logo massa de magnetita na alimentação é ).
Observação importante (não vou resolver ainda): para separar por elutrição precisamos comparar a velocidade ascensional do fluido (velocidade superficial
) com as velocidades terminais de queda das partículas
. Partículas com
tendem a sedimentar (ficarão na fração inferior); partículas com
serão arrastadas para cima (fração superior). A possibilidade de obter “magnetita pura” em uma fração depende de existir um
tal que, para algum conjunto de diâmetros, as partículas de magnetita estejam no mesmo lado (sedimentadas ou arrastadas) e todas as cristobalitas estejam no outro lado. A resolução real começa no próximo passo, com cálculo de velocidades terminais e análise.
Passo 2
Entender e definir a equação a usar para velocidade terminal e estratégia de análise (aula curta sobre o que estamos fazendo).
- Equilíbrio de forças para uma partícula em queda terminal: força peso efetiva = força de arrasto.
- Para uma partícula aproximadamente esférica de diâmetro
(m), densidade (kg/m^3) em fluido de densidade (kg/m^3), a condição de equilíbrio é: em que é a área frontal da partícula; para esfera . Simplificando: - Problema:
depende de , e depende de . Para partículas pequenas temos o regime de Stokes ( ) onde Mas para diâmetros até o regime pode variar de Stokes a transiente; por isso uso uma correlação prática: para esferas, Schiller–Naumann válida até , com . - Para partículas não-esféricas usamos a esfericidade
como correção empírica aumentando o arrasto; uma forma simples prática é usar (Explico: esfericidade aumenta o arrasto, e dividir por é uma forma comum e simples de efetuar essa correção em problemas de separação quando é conhecida.) - Procedimento numérico que vou aplicar (explico como fazer na prova):
- Para um dado
e , fazer uma estimativa inicial de (por exemplo usar Stokes). - Calcular
, então pela Schiller–Naumann. - Calcular
. - Atualizar
pela fórmula com . - Repetir até convergência (normalmente poucas iterações).
- Para um dado
- Vou aplicar esse procedimento para:
- magnetita nas extremidades da faixa:
e ; - cristobalita nas mesmas extremidades
e .
- magnetita nas extremidades da faixa:
- Objetivo prático: comparar
(menor velocidade terminal da magnetita, isto é em ) com (maior velocidade terminal da cristobalita, em ). Se existe um intervalo de velocidades que separa completamente as fases (tornar possível obter magnetita pura); se não, então não existe que dê pureza completa.
Passo 3
Aplicação numérica: cálculo das velocidades terminais com o procedimento explicado. Vou mostrar contas passo a passo (faça igual na prova).
Constantes usadas:
Área do elutriador:
Agora as iterações — farei uma iteração mostrada com números arredondados razoavelmente (suficientes para prova).
(a) Cristobalita
.
- Estimativa inicial (Stokes):
- Calcular
- Schiller–Naumann:
- Corrigindo por esfericidade:
- Atualizar
por Substituindo números dá - Repetindo a iteração (recalculando
, e ) converge para
(b) Cristobalita
.
- Stokes inicial:
- Pequeno
(aprox. ), iterando com a correção de esfericidade (procedimento mostrado) obtém-se convergência para
(c) Magnetita
.
- Stokes inicial:
- Iterando (Schiller–Naumann + correção de esfericidade) converge para
(d) Magnetita
.
- Repetindo o mesmo procedimento converge para
Resumo numérico (valores aproximados, mas suficientes para discussão):
(Observação didática: note que, para mesmo diâmetro,
da magnetita é sempre maior que o da cristobalita — isso por causa do maior
.)
Passo 4
Conclusão lógica sobre possibilidade de separação pura (a ideia-chave que responde (a) e (b)).
- Para que exista uma velocidade ascensional
tal que toda magnetita caia (ou toda magnetita seja carregada) e nenhuma cristobalita faça o mesmo (isto é, para obter magnetita 100% pura em uma fração), precisamos de uma lacuna entre os intervalos de velocidades terminais das duas fases. Em particular, se quisermos magnetita pura na fração sedimentada (baixo), é necessário: (Porque então existe tal que ; partículas de cristobalita seriam todas arrastadas e todas as magnetitas cairiam.) - Calculando os extremos encontramos:
- Como
, NÃO existe nenhum que satisfaça . Portanto é impossível, com a faixa de diâmetros dada (20–100 m) e com as densidades fornecidas, escolher uma vazão de água que resulte numa fração composta exclusivamente por magnetita (100% pura) — o intervalo de velocidades terminais das duas populações se sobrepõe. - Consequência direta:
- (a) Não existe vazão (nenhum
) que garanta magnetita 100% pura em uma das frações, porque não existe (velocidade superficial) que separe completamente as duas distribuições de velocidades terminais. - (b) Não existe uma faixa de diâmetros de magnetita tal que ela seja totalmente livre de cristobalita para toda a alimentação (isto é, não existe uma faixa garantida de diâmetros de magnetita que será 100% pura), porque cristobalita e magnetita ocupam a mesma faixa de diâmetros e suas velocidades terminais se sobrepõem.
- (a) Não existe vazão (nenhum
(Vou continuar com (c) e (d) mostrando o que isso implica numericamente: se não existe fração 100% pura, a produção de “magnetita pura” é nula; em seguida calculo a composição do material arrastado se considerarmos um caso prático de operação. Isso é útil didaticamente: muitas vezes, a conclusão é que separação perfeita é impossível e então calcula-se rendimento e enriquecimento prático.)
Passo 5
Resposta prática para (c): produção de magnetita pura com a alimentação dada.
- Pelo argumento do passo anterior a separação 100% pura da magnetita não é possível para toda a faixa de tamanhos. Logo a produção de magnetita perfeitamente pura, isto é, sem traços de cristobalita na fração, é:
- Observação didática: isso não significa que não se possa obter uma fração enriquecida em magnetita (ex.: a fração grosseira pode ter mais magnetita percentualmente), mas a pergunta pediu “magnetita pura” (interpretei como 100% livre de cristobalita). Com a faixa de tamanhos dada, essa pureza não é alcançável por nenhum
; portanto a produção de magnetita 100% pura é nula.
Passo 6
Interpretação e cálculo (d): qual é o percentual, em massa, de magnetita no material sólido arrastado?
-
Para determinar a composição do material arrastado precisamos escolher qual será a velocidade ascensional
de operação (ou a vazão ). O enunciado original pedia (a) vazão mínima para magnetita pura — já respondemos que não existe. Para (d) não foi dado explícito; pela prática didática eu explico duas opções e calculo uma delas: - Se o operador quisesse arrastar todas as partículas (vazão muito grande), o material arrastado teria a mesma composição da alimentação: magnetita
de um total de em massa. - Se o operador escolhe um
específico, a composição do arrastado depende de quais diâmetros de cada mineral têm . Para calcular isso é preciso: - Para cada
encontrar e . - Usar a função de distribuição de tamanhos
para obter fração em massa abaixo de um certo diâmetro. - Integrar (ou avaliar discretamente) para obter massa arrastada de magnetita e de cristobalita.
- Para cada
- Se o operador quisesse arrastar todas as partículas (vazão muito grande), o material arrastado teria a mesma composição da alimentação: magnetita
-
Como não foi dado um
de operação, a resposta numérica direta para (d) é: sem um especificado não dá para calcular exatamente o percentual de magnetita no arrastado — porque a composição do arrastado depende de . Isso é uma conclusão prática importante: precisa-se de uma condição de operação para calcular o arrastamento. -
Para ser útil, eu ofereço um resultado limite e um procedimento:
- Limite alto (vazão muito alta, que arrasta tudo): percentual de magnetita no arrastado
- Limite baixo (vazão muito baixa, que arrasta quase nada): percentual no arrastado indefinido porque o denominador (massa arrastada) tende a zero — mas conteúdo relativo depende de quais tamanhos são arrastados.
- Procedimento para cálculo se for dado
(ou ): - Calcular
- Para cada mineral e para cada
, determinar se (arrastado) ou (sedimentado). - Com a distribuição de tamanhos do total e a razão ponderal, calcular a massa arrastada de cada mineral integrando a distribuição sobre os diâmetros que satisfazem
. - O percentual de magnetita no arrastado é então
- Calcular
- Sem
não dá para um número único para (d).
- Limite alto (vazão muito alta, que arrasta tudo): percentual de magnetita no arrastado
Resposta
(a) Não existe vazão de água (nenhum
) que garanta a obtenção de magnetita 100% pura em uma das frações para a faixa de diâmetros
; com os dados fornecidos a separação perfeita é impossível.
(b) Não existe uma faixa de diâmetros de magnetita que seja garantida 100% pura (nenhuma faixa) dentro da alimentação dada.
(c) Produção de magnetita perfeitamente pura
(d) Sem especificar a vazão (ou a velocidade superficial
) não é possível calcular um único percentual; em caso limite de arraste de toda a alimentação o arrastado teria
de magnetita em massa.
(b) Não existe uma faixa de diâmetros de magnetita que seja garantida 100% pura (nenhuma faixa) dentro da alimentação dada.
(c) Produção de magnetita perfeitamente pura
(d) Sem especificar a vazão