Uma mistura de magnetita (minério de ferro e densidade: 5,05 \mathrm{g} / \mathrm{cm}^{3} ) e cristobalita ( \mathrm{SiO}_{2} e densidade: 2,32 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ), ambas com diâmetros de partícula na faixa de 20 a 100 \mu \mathrm{~m} e esfericidade 0,8 , será separada em um elutriador de 50 cm de diâmetro, com água a 30^{\circ} \mathrm{C}. Pede-se:
a) Qual deve ser a vazão mínima de água para se obter magnetita pura em uma das frações?
b) Qual será a faixa de diâmetros da magnetita pura assim obtida?
c) Supondo que a distribuição de tamanho das partículas é dada por:
y=1-\exp \left[-\left(\frac{d-20}{40}\right)^{3}\right] \quad \text { com } \mathrm{d} \text { em } \mu \mathrm{m}
e a razão ponderal magnetita/cristobalita é 2:3, determinar a produção de magnetita pura obtida, se são alimentados 150 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} da mistura ao elutriador.
d) Determinar o percentual, em massa, de magnetita no material sólido arrastado.

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado pede e quais dados foram dados.
Perguntas do enunciado:
  • (a) Qual deve ser a vazão mínima de água para se obter magnetita pura em uma das frações?
  • (b) Qual será a faixa de diâmetros da magnetita pura assim obtida?
  • (c) Dada a distribuição de tamanhos y=1-\exp\!\big[-\big(\tfrac{d-20}{40}\big)^3\big] com d em \mu\mathrm{m} e razão ponderal magnetita/cristobalita igual a 2:3, determinar a produção de magnetita pura se a alimentação é 150\\ \mathrm{kg/h}.
  • (d) Determinar o percentual, em massa, de magnetita no material sólido arrastado.
Dados fornecidos (vou numerar e deixar explícito o que usarei):
  1. Densidade da magnetita: \rho_m = 5{,}05\\ \mathrm{g/cm^3} = 5050\\ \mathrm{kg/m^3}.
  2. Densidade da cristobalita (SiO _2): \rho_c = 2{,}32\\ \mathrm{g/cm^3} = 2320\\ \mathrm{kg/m^3}.
  3. Faixa de diâmetros (ambas as fases): d entre 20\\ \mu\mathrm{m} e 100\\ \mu\mathrm{m}.
  4. Esfericidade das partículas: \varphi = 0{,}8.
  5. Elutriador: diâmetro D = 50\\ \mathrm{cm} = 0{,}5\\ \mathrm{m}. Área da seção transversal: A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}5)^{2}}{4} \\ \mathrm{m^{2}}.
  6. Fluido: água a 30^\circ\mathrm{C}. Vou usar propriedades padrão da água a 30^\circ\mathrm{C}:
    \rho_f \approx 996\\ \mathrm{kg/m^3} e viscosidade dinâmica \mu \approx 0{,}798\times 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  7. Distribuição de tamanhos dada em (c): y(d)=1-\exp\!\left[-\left(\frac{d-20}{40}\right)^{3}\right].
  8. Alimentação total: 150\\ \mathrm{kg/h} da mistura; razão magnetita:cristobalita = 2:3 (logo massa de magnetita na alimentação é 150\cdot\frac{2}{5}=60\\ \mathrm{kg/h}).
Observação importante (não vou resolver ainda): para separar por elutrição precisamos comparar a velocidade ascensional do fluido (velocidade superficial U=Q/A) com as velocidades terminais de queda das partículas V_t(d). Partículas com V_t(d)>U tendem a sedimentar (ficarão na fração inferior); partículas com V_t(d)<U serão arrastadas para cima (fração superior). A possibilidade de obter “magnetita pura” em uma fração depende de existir um U tal que, para algum conjunto de diâmetros, as partículas de magnetita estejam no mesmo lado (sedimentadas ou arrastadas) e todas as cristobalitas estejam no outro lado. A resolução real começa no próximo passo, com cálculo de velocidades terminais e análise.

Passo 2

Entender e definir a equação a usar para velocidade terminal e estratégia de análise (aula curta sobre o que estamos fazendo).
  • Equilíbrio de forças para uma partícula em queda terminal: força peso efetiva = força de arrasto.
  • Para uma partícula aproximadamente esférica de diâmetro d (m), densidade \rho_p (kg/m^3) em fluido de densidade \rho_f (kg/m^3), a condição de equilíbrio é: \frac{\pi}{6} d^{3}(\rho_p-\rho_f)g = \frac{1}{2} C_D A_p \rho_f V_t^{2},em que A_p é a área frontal da partícula; para esfera A_p=\frac{\pi d^{2}}{4}. Simplificando: V_t = \sqrt{\frac{4 d (\rho_p-\rho_f) g}{3 C_D \rho_f}}.
  • Problema: C_D depende de Re, e Re depende de V_t. Para partículas pequenas temos o regime de Stokes ( Re\ll 1) onde V_{t,\text{Stokes}}=\frac{(\rho_p-\rho_f) g d^{2}}{18\mu}.Mas para diâmetros até 100\\ \mu\mathrm{m} o regime pode variar de Stokes a transiente; por isso uso uma correlação prática: para esferas, Schiller–Naumann C_{D,\text{sphere}}=\frac{24}{Re}\left(1+0{,}15 Re^{0{,}687}\right)válida até Re\sim 1000, com Re=\dfrac{\rho_f V_t d}{\mu}.
  • Para partículas não-esféricas usamos a esfericidade \varphi como correção empírica aumentando o arrasto; uma forma simples prática é usar C_D = \frac{C_{D,\text{sphere}}}{\varphi}.(Explico: esfericidade <1 aumenta o arrasto, e dividir por \varphi é uma forma comum e simples de efetuar essa correção em problemas de separação quando \varphi é conhecida.)
  • Procedimento numérico que vou aplicar (explico como fazer na prova):
    1. Para um dado d e \rho_p, fazer uma estimativa inicial de V_t (por exemplo usar Stokes).
    2. Calcular Re, então C_{D,\text{sphere}} pela Schiller–Naumann.
    3. Calcular C_D=C_{D,\text{sphere}}/\varphi.
    4. Atualizar V_t pela fórmula com C_D.
    5. Repetir até convergência (normalmente poucas iterações).
  • Vou aplicar esse procedimento para:
    • magnetita nas extremidades da faixa: d=20\\ \mu\mathrm{m} e d=100\\ \mu\mathrm{m};
    • cristobalita nas mesmas extremidades d=20\\ \mu\mathrm{m} e d=100\\ \mu\mathrm{m}.
  • Objetivo prático: comparar V_{t,\min}^{(m)} (menor velocidade terminal da magnetita, isto é em d=20\\ \mu\mathrm{m}) com V_{t,\max}^{\text{(c)}} (maior velocidade terminal da cristobalita, em d=100\\ \mu\mathrm{m}). Se V_{t,\min}^{(m)} > V_{t,\max}^{\text{(c)}} existe um intervalo de velocidades U que separa completamente as fases (tornar possível obter magnetita pura); se não, então não existe U que dê pureza completa.

Passo 3

Aplicação numérica: cálculo das velocidades terminais com o procedimento explicado. Vou mostrar contas passo a passo (faça igual na prova).
Constantes usadas:
g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2},\qquad \rho_f=996\\ \mathrm{kg/m^3},\qquad \mu=0{,}798\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s},\qquad \varphi=0{,}8.
Área do elutriador:
A=\frac{\pi(0{,}5)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}0625 \approx 0{,}19635\\ \mathrm{m^2}.
Agora as iterações — farei uma iteração mostrada com números arredondados razoavelmente (suficientes para prova).
(a) Cristobalita d=100\\ \mu\mathrm{m}=1{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • Estimativa inicial (Stokes): V_{0}=\frac{(\rho_c-\rho_f) g d^{2}}{18\mu} =\frac{(2320-996)\cdot9{,}81\cdot(1{,}00\times10^{-4})^{2}}{18\cdot0{,}798\times10^{-3}} \approx 9{,}04\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Calcular Re_0=\dfrac{\rho_f V_0 d}{\mu}\approx 1{,}13.
  • Schiller–Naumann: C_{D,\text{sphere}}=\frac{24}{Re}\left(1+0{,}15Re^{0{,}687}\right)\approx 24/1{,}13\cdot(1+0{,}15\cdot1{,}09)\approx 24{,}7.
  • Corrigindo por esfericidade: C_D=\frac{24{,}7}{0{,}8}\approx 30{,}9.
  • Atualizar V_t por V_t=\sqrt{\frac{4 d (\rho_c-\rho_f) g}{3 C_D \rho_f}}.Substituindo números dá V_t\approx 6{,}45\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Repetindo a iteração (recalculando Re, C_D e V_t) converge para V_{t,\text{c, }100}\approx 6{,}45\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
(b) Cristobalita d=20\\ \mu\mathrm{m}=2{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Stokes inicial: V_0\approx\frac{(2320-996)\cdot9{,}81\cdot(2{,}0\times10^{-5})^{2}}{18\cdot0{,}798\times10^{-3}}\approx 3{,}62\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
  • Pequeno Re (aprox. 0{,}009), iterando com a correção de esfericidade (procedimento mostrado) obtém-se convergência para V_{t,\text{c, }20}\approx 3{,}22\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
(c) Magnetita d=20\\ \mu\mathrm{m}.
  • Stokes inicial: V_0\approx\frac{(5050-996)\cdot9{,}81\cdot(2{,}0\times10^{-5})^{2}}{18\cdot0{,}798\times10^{-3}} \approx 1{,}11\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Iterando (Schiller–Naumann + correção de esfericidade) converge para V_{t,\text{m, }20}\approx 1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
(d) Magnetita d=100\\ \mu\mathrm{m}.
  • Repetindo o mesmo procedimento converge para V_{t,\text{m, }100}\approx 1{,}83\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.
Resumo numérico (valores aproximados, mas suficientes para discussão):
V_{t,\text{c, }20}\approx 3{,}22\times10^{-4}\\ \mathrm{m/s},\qquad V_{t,\text{c, }100}\approx 6{,}45\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s},
V_{t,\text{m, }20}\approx 1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s},\qquad V_{t,\text{m, }100}\approx 1{,}83\times10^{-2}\\ \mathrm{m/s}.
(Observação didática: note que, para mesmo diâmetro, V_t da magnetita é sempre maior que o da cristobalita — isso por causa do maior \rho_p-\rho_f.)

Passo 4

Conclusão lógica sobre possibilidade de separação pura (a ideia-chave que responde (a) e (b)).
  • Para que exista uma velocidade ascensional U tal que toda magnetita caia (ou toda magnetita seja carregada) e nenhuma cristobalita faça o mesmo (isto é, para obter magnetita 100% pura em uma fração), precisamos de uma lacuna entre os intervalos de velocidades terminais das duas fases. Em particular, se quisermos magnetita pura na fração sedimentada (baixo), é necessário: V_{t,\min}^{(m)} > V_{t,\max}^{\text{(c)}}.(Porque então existe U tal que V_{t,\max}^{\text{(c)}}<U<V_{t,\min}^{(m)}; partículas de cristobalita seriam todas arrastadas e todas as magnetitas cairiam.)
  • Calculando os extremos encontramos: V_{t,\min}^{(m)}=V_{t,\text{m, }20}\approx 1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s},
V_{t,\max}^{\text{(c)}}=V_{t,\text{c, }100}\approx 6{,}45\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Como 1{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s} < 6{,}45\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}, NÃO existe nenhum U que satisfaça V_{t,\max}^{\text{(c)}}<U<V_{t,\min}^{(m)}. Portanto é impossível, com a faixa de diâmetros dada (20–100 \mum) e com as densidades fornecidas, escolher uma vazão de água que resulte numa fração composta exclusivamente por magnetita (100% pura) — o intervalo de velocidades terminais das duas populações se sobrepõe.
  • Consequência direta:
    • (a) Não existe vazão (nenhum Q) que garanta magnetita 100% pura em uma das frações, porque não existe U (velocidade superficial) que separe completamente as duas distribuições de velocidades terminais.
    • (b) Não existe uma faixa de diâmetros de magnetita tal que ela seja totalmente livre de cristobalita para toda a alimentação (isto é, não existe uma faixa garantida de diâmetros de magnetita que será 100% pura), porque cristobalita e magnetita ocupam a mesma faixa de diâmetros e suas velocidades terminais se sobrepõem.
(Vou continuar com (c) e (d) mostrando o que isso implica numericamente: se não existe fração 100% pura, a produção de “magnetita pura” é nula; em seguida calculo a composição do material arrastado se considerarmos um caso prático de operação. Isso é útil didaticamente: muitas vezes, a conclusão é que separação perfeita é impossível e então calcula-se rendimento e enriquecimento prático.)

Passo 5

Resposta prática para (c): produção de magnetita pura com a alimentação dada.
  • Pelo argumento do passo anterior a separação 100% pura da magnetita não é possível para toda a faixa de tamanhos. Logo a produção de magnetita perfeitamente pura, isto é, sem traços de cristobalita na fração, é: \text{produção de magnetita pura}=0\\ \mathrm{kg/h}.çã
  • Observação didática: isso não significa que não se possa obter uma fração enriquecida em magnetita (ex.: a fração grosseira pode ter mais magnetita percentualmente), mas a pergunta pediu “magnetita pura” (interpretei como 100% livre de cristobalita). Com a faixa de tamanhos dada, essa pureza não é alcançável por nenhum U; portanto a produção de magnetita 100% pura é nula.

Passo 6

Interpretação e cálculo (d): qual é o percentual, em massa, de magnetita no material sólido arrastado?
  • Para determinar a composição do material arrastado precisamos escolher qual será a velocidade ascensional U de operação (ou a vazão Q). O enunciado original pedia (a) vazão mínima para magnetita pura — já respondemos que não existe. Para (d) não foi dado U explícito; pela prática didática eu explico duas opções e calculo uma delas:
    1. Se o operador quisesse arrastar todas as partículas (vazão muito grande), o material arrastado teria a mesma composição da alimentação: magnetita =60\\ \mathrm{kg/h} de um total de 150\\ \mathrm{kg/h} \Rightarrow 40\% em massa.
    2. Se o operador escolhe um U específico, a composição do arrastado depende de quais diâmetros de cada mineral têm V_t(d)<U. Para calcular isso é preciso:
      • Para cada d encontrar V_{t,\text{m}}(d) e V_{t,\text{c}}(d).
      • Usar a função de distribuição de tamanhos y(d) para obter fração em massa abaixo de um certo diâmetro.
      • Integrar (ou avaliar discretamente) para obter massa arrastada de magnetita e de cristobalita.
  • Como não foi dado um U de operação, a resposta numérica direta para (d) é: sem um U especificado não dá para calcular exatamente o percentual de magnetita no arrastado — porque a composição do arrastado depende de U. Isso é uma conclusão prática importante: precisa-se de uma condição de operação para calcular o arrastamento.
  • Para ser útil, eu ofereço um resultado limite e um procedimento:
    • Limite alto (vazão muito alta, que arrasta tudo): percentual de magnetita no arrastado = \dfrac{60}{150}\times100\%=40\%.
    • Limite baixo (vazão muito baixa, que arrasta quase nada): percentual no arrastado indefinido porque o denominador (massa arrastada) tende a zero — mas conteúdo relativo depende de quais tamanhos são arrastados.
    • Procedimento para cálculo se for dado Q (ou U):
      1. Calcular U=Q/A.
      2. Para cada mineral e para cada d, determinar se V_t(d) < U (arrastado) ou V_t(d) > U (sedimentado).
      3. Com a distribuição de tamanhos do total e a razão ponderal, calcular a massa arrastada de cada mineral integrando a distribuição sobre os diâmetros que satisfazem V_t(d) < U.
      4. O percentual de magnetita no arrastado é então \%_{\text{m}} = 100\%\cdot\frac{m_{\text{m, arrastada}}}{m_{\text{total arrastada}}}.
    • Sem Q não dá para um número único para (d).

Resposta

(a) Não existe vazão de água (nenhum Q) que garanta a obtenção de magnetita 100% pura em uma das frações para a faixa de diâmetros 20\text{–}100\\ \mu\mathrm{m}; com os dados fornecidos a separação perfeita é impossível.
(b) Não existe uma faixa de diâmetros de magnetita que seja garantida 100% pura (nenhuma faixa) dentro da alimentação dada.
(c) Produção de magnetita perfeitamente pura =0\\ \mathrm{kg/h}.
(d) Sem especificar a vazão Q (ou a velocidade superficial U) não é possível calcular um único percentual; em caso limite de arraste de toda a alimentação o arrastado teria 60/150=40\% de magnetita em massa.

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