• Com a intenção de estudar a separação do Taxol, de outras espécies químicas, utilizou-se uma coluna com 12,5 \mathrm{~cm} de comprimento e 1,5 \mathrm{~cm} de diâmetro, empacotadas com adsorventes esféricos de diâmetro médio de partícula igual a 300 \mu \mathrm{~m}. A porosidade do leito era de 0,355 . A solução utilizada estava a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=790 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}\right. e v= 1,51^{*} 10^{-6} \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ). Determine a queda de pressão para as vazões de 1,0 \mathrm{~mL} / \min , 1,5 \mathrm{~mL} / \min , 2,0 \mathrm{mL} / \min e 2,5 \mathrm{~mL} / \mathrm{min}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei todos estes números do enunciado).
Dados do enunciado:
  • comprimento da coluna: L=12{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}125\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro da coluna: D=1{,}5\\ \mathrm{cm}=0{,}015\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro médio das partículas: d_p=300\\ \mu\mathrm{m}=3{,}00\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • porosidade do leito: \epsilon=0{,}355.
  • temperatura 20^\circ\mathrm{C} (fornece propriedades): densidade \rho=790\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • viscosidade cinemática (peguei do enunciado): \nu=1{,}51\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • devo usar as vazões volumétricas dadas: Q=1{,}0,\;1{,}5,\;2{,}0,\;2{,}5\\ \mathrm{mL/min}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a queda de pressão \Delta P através do leito para cada uma dessas vazões.

Passo 2

Plano de solução e fórmula a usar (explicação didática).
  • Quando o fluido atravessa um leito empacotado de partículas esféricas, uma fórmula clássica e prática para estimar a perda de carga é a equação de Ergun. Ela combina um termo viscoso (linear em velocidade) e um termo inercial (quadrático em velocidade).
  • A equação de Ergun na forma por unidade de comprimento é:
\frac{\Delta P}{L}=\frac{150\,\mu\,(1-\epsilon)^2}{d_p^2\,\epsilon^3}\,u\;+\;\frac{1{,}75\,\rho\,(1-\epsilon)}{d_p\,\epsilon^3}\,u^2
Explicando cada símbolo:
  • \Delta P é a perda de pressão total (\mathrm{Pa}).
  • L é o comprimento do leito (\mathrm{m}).
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (\mathrm{Pa\cdot s}).
  • \rho é a densidade do fluido (\mathrm{kg/m^3}).
  • \epsilon é a porosidade adimensional.
  • d_p é o diâmetro médio das partículas (\mathrm{m}).
  • u é a velocidade superficial do fluido (\mathrm{m/s}), obtida por u = Q/A, onde Q é a vazão volumétrica (\mathrm{m^3/s}) e A é a área da seção transversal da coluna (\mathrm{m^2}).
Vou aplicar essa equação passo a passo: calcular \mu a partir de \nu e \rho, calcular a área A, converter as vazões para \mathrm{m^3/s}, obter u para cada vazão, calcular os dois termos da Ergun, somar para obter \Delta P/L e por fim \Delta P.

Passo 3

Calcular a viscosidade dinâmica \mu a partir da viscosidade cinemática \nu.
  • Relação: \mu=\rho\,\nu.
\mu=\;790\\ \mathrm{kg/m^3}\times 1{,}51\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} = 1{,}1929\cdot10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Vou usar \mu=1{,}1929\cdot10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 4

Calcular a área da seção transversal da coluna A.
  • Fórmula da área do círculo: A=\dfrac{\pi D^2}{4}.
A=\frac{\pi (0{,}015\\ \mathrm{m})^2}{4}=\pi\cdot 5{,}625\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m^2}=1{,}767145867\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
Vou usar A\approx 1{,}76715\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 5

Preparar constantes que aparecem na equação (cálculos intermediários).
  • 1-\epsilon=1-0{,}355=0{,}645.
  • (1-\epsilon)^2=0{,}645^2=0{,}416025.
  • \epsilon^3=0{,}355^3\approx 0{,}0447389.
  • d_p^2=(3{,}00\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m})^2=9{,}00\cdot10^{-8}\\ \mathrm{m^2}.
  • d_p=3{,}00\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular os coeficientes (os fatores multiplicativos dos termos linear e quadrático em u) da equação de Ergun.
  • Coeficiente do termo linear:
C_1=\frac{150\,\mu\,(1-\epsilon)^2}{d_p^2\,\epsilon^3}.
Substituindo os valores:
C_1=\frac{150\times 1{,}1929\cdot10^{-3}\times 0{,}416025}{9{,}00\cdot10^{-8}\times 0{,}0447389}\approx 1{,}8477\cdot10^{7}\\ \mathrm{Pa\cdot s/m^2}.
  • Coeficiente do termo quadrático:
C_2=\frac{1{,}75\,\rho\,(1-\epsilon)}{d_p\,\epsilon^3}.
Substituindo:
C_2=\frac{1{,}75\times 790\times 0{,}645}{3{,}00\cdot10^{-4}\times 0{,}0447389}\approx 6{,}6448\cdot10^{7}\\ \mathrm{Pa\cdot s^2/m^3}.
Explicação breve: os números C_1 e C_2 representam o “peso” que a viscosidade e a inércia têm na perda de carga por metro conforme a velocidade aumenta.

Passo 7

Converter as vazões fornecidas para \mathrm{m^3/s}.
  • Regra: 1\\ \mathrm{mL/min}=1{,}0\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m^3/min}=\dfrac{1{,}0\cdot10^{-6}}{60}\\ \mathrm{m^3/s}.
    Cálculos:
\begin{aligned} Q_1&=1{,}0\\ \mathrm{mL/min}=1{,}0\cdot10^{-6}/60=1{,}6666667\cdot10^{-8}\\ \mathrm{m^3/s},\\\ Q_2&=1{,}5\\ \mathrm{mL/min}=1{,}5\cdot10^{-6}/60=2{,}5000000\cdot10^{-8}\\ \mathrm{m^3/s},\\\ Q_3&=2{,}0\\ \mathrm{mL/min}=2{,}0\cdot10^{-6}/60=3{,}3333333\cdot10^{-8}\\ \mathrm{m^3/s},\\\ Q_4&=2{,}5\\ \mathrm{mL/min}=2{,}5\cdot10^{-6}/60=4{,}1666667\cdot10^{-8}\\ \mathrm{m^3/s}. \end{aligned}

Passo 8

Para cada vazão: calcular a velocidade superficial u=Q/A, os termos da Ergun, \Delta P/L e \Delta P. Vou mostrar os cálculos para cada vazão separadamente.
Caso Q_1=1{,}0\\ \mathrm{mL/min}:
  • Velocidade superficial:
u_1=\frac{Q_1}{A}=\frac{1{,}6666667\cdot10^{-8}}{1{,}767145867\cdot10^{-4}}=9{,}432\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m/s}.
  • Termo viscoso (linear):
T_{1,\text{visc}}=C_1\,u_1=1{,}8477\cdot10^{7}\times 9{,}432\cdot10^{-5}=1{,}7426\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Termo inercial (quadrático):
T_{1,\text{iner}}=C_2\,u_1^2=6{,}6448\cdot10^{7}\times (9{,}432\cdot10^{-5})^2=0{,}592\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Soma e perda por metro:
\frac{\Delta P_1}{L}=T_{1,\text{visc}}+T_{1,\text{iner}}=1{,}7432\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Perda total na coluna:
\Delta P_1=\frac{\Delta P_1}{L}\times L=1{,}7432\cdot10^{3}\times 0{,}125=217{,}9\\ \mathrm{Pa}.

Passo 9

Caso Q_2=1{,}5\\ \mathrm{mL/min}:
  • Velocidade superficial:
u_2=\frac{2{,}5000000\cdot10^{-8}}{1{,}767145867\cdot10^{-4}}=1{,}415\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
  • Termo viscoso:
T_{2,\text{visc}}=C_1\,u_2=1{,}8477\cdot10^{7}\times 1{,}415\cdot10^{-4}=2{,}614\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Termo inercial:
T_{2,\text{iner}}=C_2\,u_2^2=6{,}6448\cdot10^{7}\times (1{,}415\cdot10^{-4})^2=1{,}331\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Soma e perda por metro:
\frac{\Delta P_2}{L}=2{,}6153\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Perda total:
\Delta P_2=2{,}6153\cdot10^{3}\times 0{,}125=326{,}9\\ \mathrm{Pa}.

Passo 10

Caso Q_3=2{,}0\\ \mathrm{mL/min}:
  • Velocidade superficial:
u_3=\frac{3{,}3333333\cdot10^{-8}}{1{,}767145867\cdot10^{-4}}=1{,}888\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
  • Termo viscoso:
T_{3,\text{visc}}=C_1\,u_3=1{,}8477\cdot10^{7}\times 1{,}888\cdot10^{-4}=3{,}4903\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Termo inercial:
T_{3,\text{iner}}=C_2\,u_3^2=6{,}6448\cdot10^{7}\times (1{,}888\cdot10^{-4})^2=2{,}370\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Soma e perda por metro:
\frac{\Delta P_3}{L}=3{,}4927\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Perda total:
\Delta P_3=3{,}4927\cdot10^{3}\times 0{,}125=436{,}6\\ \mathrm{Pa}.

Passo 11

Caso Q_4=2{,}5\\ \mathrm{mL/min}:
  • Velocidade superficial:
u_4=\frac{4{,}1666667\cdot10^{-8}}{1{,}767145867\cdot10^{-4}}=2{,}360\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m/s}.
  • Termo viscoso:
T_{4,\text{visc}}=C_1\,u_4=1{,}8477\cdot10^{7}\times 2{,}360\cdot10^{-4}=4{,}361\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Termo inercial:
T_{4,\text{iner}}=C_2\,u_4^2=6{,}6448\cdot10^{7}\times (2{,}360\cdot10^{-4})^2=3{,}699\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Soma e perda por metro:
\frac{\Delta P_4}{L}=4{,}3647\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.
  • Perda total:
\Delta P_4=4{,}3647\cdot10^{3}\times 0{,}125=545{,}6\\ \mathrm{Pa}.

Passo 12

Interpretação rápida e incentivo:
  • Repare que o termo viscoso (linear em u) domina em todas as vazões dadas; o termo inercial (quadrático) é pequeno aqui porque as velocidades superficiais são muito baixas (fluxos típicos de HPLC/coluna analítica). Isso significa que a perda de carga cresce quase linearmente com a vazão neste regime — útil para estimativas rápidas em prova.
  • Mandou bem até aqui: aplicar a Ergun passo a passo é a forma certa para esse tipo de problema.

Resposta

\Delta P(Q=1{,}0\\ \mathrm{mL/min})=217{,}9\\ \mathrm{Pa}
\Delta P(Q=1{,}5\\ \mathrm{mL/min})=326{,}9\\ \mathrm{Pa}
\Delta P(Q=2{,}0\\ \mathrm{mL/min})=436{,}6\\ \mathrm{Pa}
\Delta P(Q=2{,}5\\ \mathrm{mL/min})=545{,}6\\ \mathrm{Pa}

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