Determinar o valor do diâmetro médio de partícula cujo volume é igual ao volume médio das particulas presentes na amostra.
Mesh Abertura -Di(mm) Abertura + Di ((mm)) Massa retida (g)
-70+80 210 177 0
-80+100 177 149 1,29
-100+120 149 125 5,93
-120+140 125 105 9,70
-140+170 105 88 14,16
-170+200 88 74 16,97
-200+230 74 63 15,21
-230+270 63 53 14,32
-270+325 53 44 11,21
-325+400 44 37 6,18
-400 5,03

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pedido: determinar o diâmetro médio de partícula cujo volume é igual ao volume médio das partículas da amostra (ou seja, achar um diâmetro D tal que o volume da esfera de diâmetro D seja igual ao volume médio por partícula da amostra).
  • Dados fornecidos (peguei os números da tabela enviada):
    • Para cada faixa (malha) foi dada a abertura superior e a abertura inferior em milímetros e a massa retida em gramas.
    • As massas retidas (em \mathrm{g}) por faixa, na ordem das linhas relevantes, são:
      \;1{,}29,\;5{,}93,\;9{,}70,\;14{,}16,\;16{,}97,\;15{,}21,\;14{,}32,\;11{,}21,\;6{,}18,\;5{,}03.
    • As aberturas (em \mathrm{mm}) das faixas (limite superior \times limite inferior) que usei como estão na tabela:
      \;(177,149),\;(149,125),\;(125,105),\;(105,88),\;(88,74),\;(74,63),\;(63,53),\;(53,44),\;(44,37),\;<37.
Observações importantes (decisões e suposições que vou usar sem perguntar):
  • Vou assumir que as partículas podem ser aproximadas como esferas; assim o volume individual depende do diâmetro por v = \dfrac{\pi}{6} d^{3}.
  • Para representar cada faixa de peneiramento por um único diâmetro representativo d_i, vou usar a média geométrica das aberturas superior e inferior:
    \;d_i = \sqrt{d_{i,\text{sup}}\;d_{i,\text{inf}}}.
  • Para a classe aberta inferior ( <37\\ \mathrm{mm}, massa 5{,}03\\ \mathrm{g}), adoto a convenção comum de tomar o diâmetro representativo como metade da menor abertura (convenção prática para a fração de fundo): \;d = \tfrac{1}{2}\cdot 37 = 18{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Total de massa da amostra (somando as massas dadas) é \;100{,}00\\ \mathrm{g} (reparei que as massas somam exatamente \;100\\ \mathrm{g}).

Passo 2

Derivar a fórmula prática que usarei para achar o diâmetro médio de volume.
Explicando a ideia (passo-a-passo e sem pular etapas):
  • Seja m_i a massa total dos grãos da i-ésima faixa e v_i o volume médio de um grão dessa faixa. Seja N_i o número de grãos na faixa i.
  • Temos m_i = N_i \rho v_i, onde \rho é a densidade das partículas (assumida constante entre as frações).
  • O volume médio por partícula na amostra é \bar{v} = \frac{\sum_i N_i v_i}{\sum_i N_i}.
  • Substituindo N_i = \dfrac{m_i}{\rho v_i} obtemos: \bar{v} = \frac{\sum_i \dfrac{m_i}{\rho v_i}\,v_i}{\sum_i \dfrac{m_i}{\rho v_i}} = \frac{\sum_i \dfrac{m_i}{\rho}}{\sum_i \dfrac{m_i}{\rho v_i}} = \frac{\sum_i m_i}{\sum_i \dfrac{m_i}{v_i}},ou seja, a densidade cancela.
  • Agora, assumindo partículas esféricas, v_i = \dfrac{\pi}{6} d_i^{3}. Então \sum_i \frac{m_i}{v_i} = \sum_i \frac{m_i}{(\pi/6)\,d_i^{3}} = \frac{6}{\pi}\sum_i \frac{m_i}{d_i^{3}}.
  • Substituindo em \bar{v} e pedindo o diâmetro D tal que \dfrac{\pi}{6}D^{3}=\bar{v}, simplifica-se elegantemente para: D^{3} \;=\; \frac{\sum_i m_i}{\sum_i \dfrac{m_i}{d_i^{3}}}.
  • Portanto a fórmula prática que usarei é \boxed{\,D \;=\; \left(\dfrac{\sum_i m_i}{\sum_i \dfrac{m_i}{d_i^{3}}}\right)^{1/3}\,}onde d_i é o diâmetro representativo de cada faixa e m_i a massa retida nessa faixa.

Passo 3

Calcular os diâmetros representativos d_i (média geométrica) para cada faixa e o termo m_i/d_i^{3}.
Vou listar as faixas, o cálculo do d_i, o d_i^{3} e o quociente m_i/d_i^{3}. Todos os números estão em \mathrm{mm} e \mathrm{g}, unidades coerentes (o resultado D virá em \mathrm{mm}).
  • Faixa (177,\;149), m=1{,}29: d = \sqrt{177\cdot 149} \approx 162{,}44\\ \mathrm{mm}, \quad d^{3}\approx 4{,}285\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^{3},
\frac{m}{d^{3}}\approx \frac{1{,}29}{4{,}285\times10^{6}} \approx 3{,}01\times10^{-7}.
  • Faixa (149,\;125), m=5{,}93: d \approx \sqrt{149\cdot125}\approx136{,}50\\ \mathrm{mm}, \quad d^{3}\approx 2{,}542\times10^{6},
\frac{m}{d^{3}}\approx \frac{5{,}93}{2{,}542\times10^{6}}\approx 2{,}33\times10^{-6}.
  • Faixa (125,\;105), m=9{,}70: d \approx \sqrt{125\cdot105}\approx114{,}61\\ \mathrm{mm}, \quad d^{3}\approx 1{,}505\times10^{6},
\frac{m}{d^{3}}\approx 6{,}45\times10^{-6}.
  • Faixa (105,\;88), m=14{,}16: d \approx \sqrt{105\cdot88}\approx96{,}18\\ \mathrm{mm}, \quad d^{3}\approx 8{,}897\times10^{5},
\frac{m}{d^{3}}\approx 1{,}59\times10^{-5}.
  • Faixa (88,\;74), m=16{,}97: d \approx \sqrt{88\cdot74}\approx80{,}73\\ \mathrm{mm}, \quad d^{3}\approx 5{,}262\times10^{5},
\frac{m}{d^{3}}\approx 3{,}22\times10^{-5}.
  • Faixa (74,\;63), m=15{,}21: d \approx \sqrt{74\cdot63}\approx68{,}31\\ \mathrm{mm}, \quad d^{3}\approx 3{,}188\times10^{5},
\frac{m}{d^{3}}\approx 4{,}77\times10^{-5}.
  • Faixa (63,\;53), m=14{,}32: d \approx \sqrt{63\cdot53}\approx57{,}79\\ \mathrm{mm}, \quad d^{3}\approx 1{,}930\times10^{5},
\frac{m}{d^{3}}\approx 7{,}42\times10^{-5}.
  • Faixa (53,\;44), m=11{,}21: d \approx \sqrt{53\cdot44}\approx48{,}29\\ \mathrm{mm}, \quad d^{3}\approx 1{,}126\times10^{5},
\frac{m}{d^{3}}\approx 9{,}96\times10^{-5}.
  • Faixa (44,\;37), m=6{,}18: d \approx \sqrt{44\cdot37}\approx40{,}35\\ \mathrm{mm}, \quad d^{3}\approx 6{,}568\times10^{4},
\frac{m}{d^{3}}\approx 9{,}41\times10^{-5}.
  • Faixa <37 (adotei d=18{,}5\\ \mathrm{mm}), m=5{,}03: d = 18{,}5\\ \mathrm{mm},\quad d^{3}=6{,}330{,}625\\ \mathrm{mm}^{3},
\frac{m}{d^{3}}\approx \frac{5{,}03}{6{,}330{,}625}\approx 7{,}95\times10^{-4}.
(Se quiser, na prova pode justificar explicitamente a escolha d=\tfrac{1}{2} da menor abertura para a classe final; é uma convenção prática quando a classe é aberta.)

Passo 4

Somar os termos e aplicar a fórmula.
  • Soma das massas (confirmei a partir da tabela):
    \sum_i m_i = 1{,}29+5{,}93+9{,}70+14{,}16+16{,}97+15{,}21+14{,}32+11{,}21+6{,}18+5{,}03 = 100{,}00\\ \mathrm{g}.
  • Soma dos termos \dfrac{m_i}{d_i^{3}} (usei os valores calculados no passo anterior):
    \sum_i \frac{m_i}{d_i^{3}} \approx 1{,}1679\times10^{-3}\\ \mathrm{g/mm^{3}}.
    (na conta detalhada obtive aproximadamente 0{,}0011679.)
  • Aplicando a fórmula
    D^{3} = \frac{\sum_i m_i}{\sum_i \dfrac{m_i}{d_i^{3}}} = \frac{100{,}00}{1{,}1679\times10^{-3}} \approx 85{,}605\\ \mathrm{mm^{3}}.
  • Finalmente:
    D = \left(85{,}605\right)^{1/3} \approx 44{,}05\\ \mathrm{mm}.

Passo 5

Interpretação curta e incentivo final.
  • O valor calculado D\approx 44{,}05\\ \mathrm{mm} é o diâmetro de uma esfera cuja volume é igual ao volume médio por partícula da amostra (ou seja, o diâmetro médio em termos de volume).
  • Pequenas diferenças nas convenções (por exemplo qual valor tomar para a faixa aberta <37\\ \mathrm{mm} ou se usar média geométrica vs. aritmética como representativo) mudam um pouco o resultado, mas a ordem de grandeza e a interpretação física permanecem as mesmas.
  • Mandou bem pedindo passo-a-passo — esse raciocínio (usar N_i via m_i, assumir esferas, derivar a fórmula) é exatamente o que vale na prova. Respira fundo, revisa esses passos e fica confiante!

Resposta

D \approx 44{,}05\\ \mathrm{mm}

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