Determinar o valor do diâmetro médio de partícula cujo volume é igual ao volume médio das particulas presentes na amostra.
Mesh
Abertura -Di(mm)
Abertura + Di ((mm))
Massa retida (g)
-70+80
210
177
0
-80+100
177
149
1,29
-100+120
149
125
5,93
-120+140
125
105
9,70
-140+170
105
88
14,16
-170+200
88
74
16,97
-200+230
74
63
15,21
-230+270
63
53
14,32
-270+325
53
44
11,21
-325+400
44
37
6,18
-400
5,03
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos.
Pedido: determinar o diâmetro médio de partícula cujo volume é igual ao volume médio das partículas da amostra (ou seja, achar um diâmetro D tal que o volume da esfera de diâmetro D seja igual ao volume médio por partícula da amostra).
Dados fornecidos (peguei os números da tabela enviada):
Para cada faixa (malha) foi dada a abertura superior e a abertura inferior em milímetros e a massa retida em gramas.
As massas retidas (em \mathrm{g}) por faixa, na ordem das linhas relevantes, são: \;1{,}29,\;5{,}93,\;9{,}70,\;14{,}16,\;16{,}97,\;15{,}21,\;14{,}32,\;11{,}21,\;6{,}18,\;5{,}03.
As aberturas (em \mathrm{mm}) das faixas (limite superior \times limite inferior) que usei como estão na tabela: \;(177,149),\;(149,125),\;(125,105),\;(105,88),\;(88,74),\;(74,63),\;(63,53),\;(53,44),\;(44,37),\;<37.
Observações importantes (decisões e suposições que vou usar sem perguntar):
Vou assumir que as partículas podem ser aproximadas como esferas; assim o volume individual depende do diâmetro por v = \dfrac{\pi}{6} d^{3}.
Para representar cada faixa de peneiramento por um único diâmetro representativo d_i, vou usar a média geométrica das aberturas superior e inferior: \;d_i = \sqrt{d_{i,\text{sup}}\;d_{i,\text{inf}}}.
Para a classe aberta inferior (<37\\ \mathrm{mm}, massa 5{,}03\\ \mathrm{g}), adoto a convenção comum de tomar o diâmetro representativo como metade da menor abertura (convenção prática para a fração de fundo): \;d = \tfrac{1}{2}\cdot 37 = 18{,}5\\ \mathrm{mm}.
Total de massa da amostra (somando as massas dadas) é \;100{,}00\\ \mathrm{g} (reparei que as massas somam exatamente \;100\\ \mathrm{g}).
Passo 2
Derivar a fórmula prática que usarei para achar o diâmetro médio de volume.
Explicando a ideia (passo-a-passo e sem pular etapas):
Seja m_i a massa total dos grãos da i-ésima faixa e v_i o volume médio de um grão dessa faixa. Seja N_i o número de grãos na faixa i.
Temos m_i = N_i \rho v_i, onde \rho é a densidade das partículas (assumida constante entre as frações).
O volume médio por partícula na amostra é\bar{v} = \frac{\sum_i N_i v_i}{\sum_i N_i}.
Substituindo em \bar{v} e pedindo o diâmetro D tal que \dfrac{\pi}{6}D^{3}=\bar{v}, simplifica-se elegantemente para:D^{3} \;=\; \frac{\sum_i m_i}{\sum_i \dfrac{m_i}{d_i^{3}}}.
Portanto a fórmula prática que usarei é\boxed{\,D \;=\; \left(\dfrac{\sum_i m_i}{\sum_i \dfrac{m_i}{d_i^{3}}}\right)^{1/3}\,}onde d_i é o diâmetro representativo de cada faixa e m_i a massa retida nessa faixa.
Passo 3
Calcular os diâmetros representativos d_i (média geométrica) para cada faixa e o termo m_i/d_i^{3}.
Vou listar as faixas, o cálculo do d_i, o d_i^{3} e o quociente m_i/d_i^{3}. Todos os números estão em \mathrm{mm} e \mathrm{g}, unidades coerentes (o resultado D virá em \mathrm{mm}).
(Se quiser, na prova pode justificar explicitamente a escolha d=\tfrac{1}{2} da menor abertura para a classe final; é uma convenção prática quando a classe é aberta.)
D = \left(85{,}605\right)^{1/3} \approx 44{,}05\\ \mathrm{mm}.
Passo 5
Interpretação curta e incentivo final.
O valor calculado D\approx 44{,}05\\ \mathrm{mm} é o diâmetro de uma esfera cuja volume é igual ao volume médio por partícula da amostra (ou seja, o diâmetro médio em termos de volume).
Pequenas diferenças nas convenções (por exemplo qual valor tomar para a faixa aberta <37\\ \mathrm{mm} ou se usar média geométrica vs. aritmética como representativo) mudam um pouco o resultado, mas a ordem de grandeza e a interpretação física permanecem as mesmas.
Mandou bem pedindo passo-a-passo — esse raciocínio (usar N_i via m_i, assumir esferas, derivar a fórmula) é exatamente o que vale na prova. Respira fundo, revisa esses passos e fica confiante!