Na intenção de secar grãos de arroz em um leito de jorro com tubo interno, torna-se necessário caracterizá-los em termos de massa específica, diâmetro equivalente e esfericidade. Para tanto, obteve-se uma amostra de 490 grãos, os quais apresentaram o formato de esferoide prolato, em que a média do raio menor foi de
, e a média do raio maior, de
. No sentido de avaliar a massa da amostra, utilizou-se um cadinho de massa igual a
que, após a adição dos 490 grãos, acusou massa de 43,5 g. Com o objetivo de obter a massa específica do arroz, utilizou-se a técnica de picnometria, lançando-se mão de um picnômetro de 50 ml e massa de
. Ao enchêlo com água, verificou-se que o recipiente acusou massa de
. No sentido de avaliar o volume de água deslocado, que está associado ao da amostra de interesse, adicionaramse os grãos no picnômetro, encontrando-se a massa de
, a qual corresponde à massa do picnômetro adicionada à de água e à da amostra. Desta maneira, pede-se:
a) a massa específica da água determinada por picnometria;
b) a massa específica do arroz determinada por picnometria;
c) o diâmetro da esfera de igual volume ao do arroz, com base nos resultados advindos da picnometria;
d) esfericidade do grão de arroz.
a) a massa específica da água determinada por picnometria;
b) a massa específica do arroz determinada por picnometria;
c) o diâmetro da esfera de igual volume ao do arroz, com base nos resultados advindos da picnometria;
d) esfericidade do grão de arroz.
Passo 1
O que o enunciado pede:
(a) a massa específica da água determinada por picnometria;
(b) a massa específica do arroz determinada por picnometria;
(c) o diâmetro da esfera de igual volume ao do arroz, com base nos resultados da picnometria;
(d) a esfericidade do grão de arroz.
(a) a massa específica da água determinada por picnometria;
(b) a massa específica do arroz determinada por picnometria;
(c) o diâmetro da esfera de igual volume ao do arroz, com base nos resultados da picnometria;
(d) a esfericidade do grão de arroz.
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
- número de grãos:
. - massa do cadinho vazio:
. - massa do cadinho com os
grãos: . - massa do picnômetro vazio:
. - massa do picnômetro cheio com água:
. - massa do picnômetro com água + grãos:
. - média do raio menor do esferoide prolato:
(semieixo menor). - média do raio maior do esferoide prolato:
(semieixo maior).
Observação importante sobre o procedimento do picnômetro (vai aparecer no próximo passo): ao inserir os grãos num picnômetro já cheio de água, parte da água transborda; a massa final medida permite relacionar a massa dos grãos com o volume que eles deslocaram.
Passo 2
Calcular a massa total da amostra de
grãos e a massa por grão (passo preparatório).
Massa total dos
grãos:
Massa média de um grão:
(Guarde este valor para uso posterior.)
Passo 3
Determinar a massa específica da água pela picnometria (item (a)).
Raciocínio/teoria rápida: a massa específica (densidade) é razão entre massa e volume. O picnômetro de quando cheio contém massa de água igual a massa do picnômetro cheio menos massa do picnômetro vazio; dividindo essa massa pelo volume conhecido obtemos a densidade da água usada.
Raciocínio/teoria rápida: a massa específica (densidade) é razão entre massa e volume. O picnômetro de
Massa de água no picnômetro cheio:
Volume do picnômetro (fornecido):
.
Portanto, massa específica da água determinada experimentalmente:
Portanto, massa específica da água determinada experimentalmente:
Explicação didática curta: usamos a massa de água contida no volume conhecido do picnômetro; essa razão massa/volume é a densidade da água à temperatura/condição experimental.
Passo 4
Determinar a massa específica do arroz pela picnometria (item (b)).
Teoria e derivação cuidadosa (passo a passo): quando temos o picnômetro cheio de água (massa ) e introduzimos os grãos sem acrescentar água extra, parte da água transborda exatamente no volume ocupado pelos grãos
. Assim, a nova massa medida do picnômetro é
Teoria e derivação cuidadosa (passo a passo): quando temos o picnômetro cheio de água (massa
onde
-
é a massa do picnômetro vazio; -
é a massa da água antes de inserir os grãos; -
é a densidade da água (já encontrada); -
é o volume total ocupado pelos grãos dentro do picnômetro; -
é a massa dos grãos inseridos.
Subtraindo a massa inicial
obtemos a relação direta (essa diferença é a quantidade medida experimentalmente):
Dessa equação podemos eliminar
escrevendo
, onde
é a densidade do sólido (arroz), que é o que queremos. Substituindo:
Isolando
:
Agora aplicamos aos números do problema:
Diferença de massas medida ao inserir os grãos:
Usando
e
, obtemos
Arredondando adequadamente:
.
Comentário didático: essa fórmula é prática e usada sempre que se pesa um picnômetro cheio e depois com o sólido; a diferença de massas contém informação sobre a massa do sólido menos a massa de água deslocada.
Passo 5
Calcular o volume total dos
grãos e o volume por grão (preparação para (c)).
Volume total dos grãos (usando
):
Volume de um grão:
Convertendo para
(pois
):
Passo 6
Calcular o diâmetro da esfera de igual volume (item (c)).
Fórmula do volume da esfera:
onde
é o diâmetro da esfera. Isolando
:
Usamos
. Então
Explicação prática: esse
é o diâmetro da esfera que ocupasse o mesmo volume do grão.
Passo 7
Calcular a esfericidade do grão (item (d)).
Primeiro, definir a esfericidade usada aqui: existem várias definições. A definição que usaremos (a mais comum em problemas práticos e a esperada neste contexto) é a razão entre o diâmetro da esfera de igual volume e a maior dimensão (comprimento) do grão:
Primeiro, definir a esfericidade usada aqui: existem várias definições. A definição que usaremos (a mais comum em problemas práticos e a esperada neste contexto) é a razão entre o diâmetro da esfera de igual volume e a maior dimensão (comprimento) do grão:
Justificativa: o enunciado deu diretamente o semieixo maior (raio maior) do esferoide prolato; o comprimento (maior dimensão) do grão é
vezes o semieixo maior. Essa razão é simples de calcular e muito usada para caracterizar “quão parecido com uma esfera” é o grão em relação ao seu comprimento.
Comprimento do grão:
Portanto a esfericidade:
Interpretação:
varia entre
e
; quanto mais próximo de
, mais esférico. Aqui
indica um grão alongado (esperado para arroz).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)