Na intenção de secar grãos de arroz em um leito de jorro com tubo interno, torna-se necessário caracterizá-los em termos de massa específica, diâmetro equivalente e esfericidade. Para tanto, obteve-se uma amostra de 490 grãos, os quais apresentaram o formato de esferoide prolato, em que a média do raio menor foi de 0,970 \mathrm{~mm}, e a média do raio maior, de 4,61 \mathrm{~mm}. No sentido de avaliar a massa da amostra, utilizou-se um cadinho de massa igual a 30,5 \mathrm{~g} que, após a adição dos 490 grãos, acusou massa de 43,5 g. Com o objetivo de obter a massa específica do arroz, utilizou-se a técnica de picnometria, lançando-se mão de um picnômetro de 50 ml e massa de 22,3 \mathrm{~g}. Ao enchêlo com água, verificou-se que o recipiente acusou massa de 72,2 \mathrm{~g}. No sentido de avaliar o volume de água deslocado, que está associado ao da amostra de interesse, adicionaramse os grãos no picnômetro, encontrando-se a massa de 74,3 \mathrm{~g}, a qual corresponde à massa do picnômetro adicionada à de água e à da amostra. Desta maneira, pede-se:
a) a massa específica da água determinada por picnometria;
b) a massa específica do arroz determinada por picnometria;
c) o diâmetro da esfera de igual volume ao do arroz, com base nos resultados advindos da picnometria;
d) esfericidade do grão de arroz.

Passo 1

O que o enunciado pede:
(a) a massa específica da água determinada por picnometria;
(b) a massa específica do arroz determinada por picnometria;
(c) o diâmetro da esfera de igual volume ao do arroz, com base nos resultados da picnometria;
(d) a esfericidade do grão de arroz.
Dados fornecidos (copiados do enunciado):
  • número de grãos: 490.
  • massa do cadinho vazio: 30{,}5\\ \mathrm{g}.
  • massa do cadinho com os 490 grãos: 43{,}5\\ \mathrm{g}.
  • massa do picnômetro vazio: 22{,}3\\ \mathrm{g}.
  • massa do picnômetro cheio com água: 72{,}2\\ \mathrm{g}.
  • massa do picnômetro com água + grãos: 74{,}3\\ \mathrm{g}.
  • média do raio menor do esferoide prolato: 0{,}970\\ \mathrm{mm} (semieixo menor).
  • média do raio maior do esferoide prolato: 4{,}61\\ \mathrm{mm} (semieixo maior).
Observação importante sobre o procedimento do picnômetro (vai aparecer no próximo passo): ao inserir os grãos num picnômetro já cheio de água, parte da água transborda; a massa final medida permite relacionar a massa dos grãos com o volume que eles deslocaram.

Passo 2

Calcular a massa total da amostra de 490 grãos e a massa por grão (passo preparatório).
Massa total dos 490 grãos:
m_s = 43{,}5\\ \mathrm{g} - 30{,}5\\ \mathrm{g} = 13{,}0\\ \mathrm{g}.
Massa média de um grão:
m_{\text{grão}} = \frac{m_s}{490} = \frac{13{,}0\\ \mathrm{g}}{490} = 0{,}0265306\\ \mathrm{g}.ã
(Guarde este valor para uso posterior.)

Passo 3

Determinar a massa específica da água pela picnometria (item (a)).
Raciocínio/teoria rápida: a massa específica (densidade) é razão entre massa e volume. O picnômetro de 50\\ \mathrm{mL} quando cheio contém massa de água igual a massa do picnômetro cheio menos massa do picnômetro vazio; dividindo essa massa pelo volume conhecido obtemos a densidade da água usada.
Massa de água no picnômetro cheio:
m_{\text{água}} = 72{,}2\\ \mathrm{g} - 22{,}3\\ \mathrm{g} = 49{,}9\\ \mathrm{g}.á
Volume do picnômetro (fornecido): V_p = 50\\ \mathrm{mL} = 50\\ \mathrm{cm}^{3}.
Portanto, massa específica da água determinada experimentalmente:
\rho_{\text{água}}=\frac{m_{\text{água}}}{V_p}=\frac{49{,}9\\ \mathrm{g}}{50\\ \mathrm{cm}^{3}}=0{,}998\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}.áá
Explicação didática curta: usamos a massa de água contida no volume conhecido do picnômetro; essa razão massa/volume é a densidade da água à temperatura/condição experimental.

Passo 4

Determinar a massa específica do arroz pela picnometria (item (b)).
Teoria e derivação cuidadosa (passo a passo): quando temos o picnômetro cheio de água (massa m_p + m_w) e introduzimos os grãos sem acrescentar água extra, parte da água transborda exatamente no volume ocupado pelos grãos V_s. Assim, a nova massa medida do picnômetro é
m_{\text{novo}} = m_p + m_w - \rho_{\text{água}} V_s + m_s,á
onde
  • m_p é a massa do picnômetro vazio;
  • m_w é a massa da água antes de inserir os grãos;
  • \rho_{\text{água}}á é a densidade da água (já encontrada);
  • V_s é o volume total ocupado pelos grãos dentro do picnômetro;
  • m_s é a massa dos grãos inseridos.
Subtraindo a massa inicial m_p+m_w obtemos a relação direta (essa diferença é a quantidade medida experimentalmente):
\Delta m = m_{\text{novo}} - (m_p + m_w) = m_s - \rho_{\text{água}} V_s.á
Dessa equação podemos eliminar V_s escrevendo V_s = \dfrac{m_s}{\rho_s}, onde \rho_s é a densidade do sólido (arroz), que é o que queremos. Substituindo:
\Delta m = m_s - \rho_{\text{água}}\frac{m_s}{\rho_s}.á
Isolando \rho_s:
\Delta m = m_s\left(1-\frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_s}\right) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_s}=1-\frac{\Delta m}{m_s} \quad\Longrightarrow\quad \rho_s=\frac{m_s\,\rho_{\text{água}}}{m_s-\Delta m}.ááá
Agora aplicamos aos números do problema:
Diferença de massas medida ao inserir os grãos:
\Delta m = 74{,}3\\ \mathrm{g} - 72{,}2\\ \mathrm{g} = 2{,}1\\ \mathrm{g}.
Usando m_s=13{,}0\\ \mathrm{g} e \rho_{\text{água}}=0{,}998\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}á, obtemos
\rho_{\text{arroz}}=\rho_s=\frac{13{,}0\cdot 0{,}998}{13{,}0-2{,}1} =\frac{12{,}974}{10{,}9}=1{,}19064\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}.
Arredondando adequadamente: \rho_{\text{arroz}}=1{,}191\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}.
Comentário didático: essa fórmula é prática e usada sempre que se pesa um picnômetro cheio e depois com o sólido; a diferença de massas contém informação sobre a massa do sólido menos a massa de água deslocada.

Passo 5

Calcular o volume total dos 490 grãos e o volume por grão (preparação para (c)).
Volume total dos grãos (usando \rho = m/V \Rightarrow V = m/\rho):
V_s=\frac{m_s}{\rho_{\text{arroz}}}=\frac{13{,}0\\ \mathrm{g}}{1{,}19064\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}}=10{,}918\\ \mathrm{cm^{3}}.
Volume de um grão:
V_{\text{grão}}=\frac{V_s}{490}=\frac{10{,}918\\ \mathrm{cm^{3}}}{490}=0{,}022278\\ \mathrm{cm^{3}}.ã
Convertendo para \mathrm{mm^{3}} (pois 1\\ \mathrm{cm^{3}}=1000\\ \mathrm{mm^{3}}):
V_{\text{grão}}=22{,}278\\ \mathrm{mm^{3}}.ã

Passo 6

Calcular o diâmetro da esfera de igual volume (item (c)).
Fórmula do volume da esfera: V=\frac{\pi}{6}d^3,
onde d é o diâmetro da esfera. Isolando d:
d=\left(\frac{6V}{\pi}\right)^{1/3}.
Usamos V=V_{\text{grão}}=22{,}278\\ \mathrm{mm^{3}}ã. Então
d_{\text{eq}}=\left(\frac{6\cdot 22{,}278}{\pi}\right)^{1/3} =\left(\frac{133{,}668}{\pi}\right)^{1/3} =\left(42{,}553\right)^{1/3}\approx 3{,}490\\ \mathrm{mm}.
Explicação prática: esse d_{\text{eq}} é o diâmetro da esfera que ocupasse o mesmo volume do grão.

Passo 7

Calcular a esfericidade do grão (item (d)).
Primeiro, definir a esfericidade usada aqui: existem várias definições. A definição que usaremos (a mais comum em problemas práticos e a esperada neste contexto) é a razão entre o diâmetro da esfera de igual volume e a maior dimensão (comprimento) do grão:
\Psi = \frac{d_{\text{eq}}}{L_{\max}}.
Justificativa: o enunciado deu diretamente o semieixo maior (raio maior) do esferoide prolato; o comprimento (maior dimensão) do grão é L_{\max}=2 vezes o semieixo maior. Essa razão é simples de calcular e muito usada para caracterizar “quão parecido com uma esfera” é o grão em relação ao seu comprimento.
Comprimento do grão:
L_{\max}=2\cdot 4{,}61\\ \mathrm{mm}=9{,}22\\ \mathrm{mm}.
Portanto a esfericidade:
\Psi=\frac{3{,}490}{9{,}22}=0{,}3784\approx 0{,}378.
Interpretação: \Psi varia entre 0 e 1; quanto mais próximo de 1, mais esférico. Aqui \Psi\approx 0{,}378 indica um grão alongado (esperado para arroz).

Resposta

(a) \rho_{\text{água}}=0{,}998\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}á
(b) \rho_{\text{arroz}}=1{,}191\\ \mathrm{g\\ cm^{-3}}
(c) d_{\text{eq}}=3{,}490\\ \mathrm{mm}
(d) \Psi=0{,}378

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