2.20 Em uma adutora de 150 mm de diâmetro, em aço soldado novo \varepsilon=0,10 mm , enterrada, está ocorrendo um vazamento. Um ensaio de campo para levantamento de vazão e pressão foi feito em dois pontos, A e B, distanciados em 500 m . No ponto A, a cota piezométrica é de 657,58 \mathrm{~m} e a vazão, de 38,88 \mathrm{l} / \mathrm{s}.
e no ponto B, 643,43 \mathrm{~m} e 31,81 \mathrm{l} / \mathrm{s}. A que distância do ponto A deverá estar localizado o vazamento? Repita o cálculo usando a fórmula de Hazen-Williams.
a) [x=355 \mathrm{~m}]
b) [x=275 \mathrm{~m}]

Passo 1

O enunciado pede a posição do vazamento ao longo da adutora entre os pontos A e B (distância total 500\\ \mathrm{m}), usando duas fórmulas diferentes: primeiro usando a fórmula de Darcy–Weisbach e depois usando a fórmula de Hazen–Williams.
Dados fornecidos:
\begin{aligned} D &= 150\\ \mathrm{mm}=0{,}15\\ \mathrm{m},\\\ \varepsilon &= 0{,}10\\ \mathrm{mm}=0{,}00010\\ \mathrm{m},\\\ L_{AB} &= 500\\ \mathrm{m},\\\ H_A &= 657{,}58\\ \mathrm{m},\\\ Q_A &= 38{,}88\\ \mathrm{l/s}=0{,}03888\\ \mathrm{m^3/s},\\\ H_B &= 643{,}43\\ \mathrm{m},\\\ Q_B &= 31{,}81\\ \mathrm{l/s}=0{,}03181\\ \mathrm{m^3/s}. \end{aligned}
O que se pede: encontrar a distância x do ponto A até o vazamento, para (1) usar Darcy–Weisbach e (2) repetir usando Hazen–Williams.

Passo 2

Primeiro cálculo útil: vazão do vazamento (diferença entre vazões medidas em A e B):
Q_L = Q_A - Q_B = 0{,}03888 - 0{,}03181 = 0{,}00707\\ \mathrm{m^3/s}.
Isto confirma que o vazamento está entre A e B. Vamos modelar a perda de carga entre A e B como soma das perdas entre A e o vazamento (comprimento x, vazão Q_A) e entre vazamento e B (comprimento 500-x, vazão Q_B). A equação de energia (piezoétricas dadas) implica:
H_A - H_B = h_{f1} + h_{f2},
onde h_{f1} é a perda de carga em A→vazamento e h_{f2} em vazamento→ B.

Passo 3

Preparar parâmetros geométricos e velocidades (valores que usaremos em ambas as fórmulas):
área da seção:
A_{\text{tubo}} = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi(0{,}15)^2}{4} = 0{,}017671458\\ \mathrm{m^2}.
velocidades:
\begin{aligned} V_A &= \frac{Q_A}{A_{\text{tubo}}} = \frac{0{,}03888}{0{,}017671458}=2{,}19958\\ \mathrm{m/s},\\[4pt] V_B &= \frac{Q_B}{A_{\text{tubo}}} = \frac{0{,}03181}{0{,}017671458}=1{,}80012\\ \mathrm{m/s}. \end{aligned}
números de Reynolds (usando \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}):
\begin{aligned} Re_A &= \frac{V_A D}{\nu}=\frac{2{,}19958\cdot0{,}15}{1\times10^{-6}}=329{,}936,\\[4pt] Re_B &= \frac{V_B D}{\nu}=\frac{1{,}80012\cdot0{,}15}{1\times10^{-6}}=270{,}018. \end{aligned}]

Passo 4

Darcy–Weisbach: explicação curta da fórmula que vamos usar. A perda de carga por atrito numa tubulação uniforme é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy (adimensional), L é o comprimento percorrido, D o diâmetro, V a velocidade média e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}. Para fluxo turbulento em tubos rugosos usamos a equação de Colebrook; uma forma explícita prática é a fórmula de Swamee–Jain:
f = 0{,}25\bigg[\log_{10}\Big(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\Big)\bigg]^{-2}.
Explico cada termo: \varepsilon é rugosidade absoluta, D o diâmetro, Re o número de Reynolds. Swamee–Jain dá f diretamente sem iteração.

Passo 5

Calcular f para os dois regimes (usando os Re calculados):
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{0{,}00010}{0{,}15}=0{,}0006666667.
Aplicando Swamee–Jain:
Para Q_A ( Re_A):
\begin{aligned} f_A &= 0{,}25\Big[\log_{10}\Big(\frac{0{,}0006666667}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{Re_A^{0{,}9}}\Big)\Big]^{-2}\\[4pt] &\approx 0{,}019106. \end{aligned}
Para Q_B ( Re_B):
f_B \approx 0{,}019353.
(Cálculos feitos aplicando a fórmula e avaliando numericamente os termos com os Re obtidos.)]

Passo 6

Calcular as perdas parciais (termos proporcionais a x e a 500-x). Primeiro as alturas dinâmicas:
\begin{aligned} \frac{V_A^2}{2g} &= \frac{(2{,}19958)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}246664\\ \mathrm{m},\\[4pt] \frac{V_B^2}{2g} &= \frac{(1{,}80012)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}165219\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
Agora os coeficientes multiplicadores:
\begin{aligned} \alpha_1 &= f_A\frac{1}{D}\frac{V_A^2}{2g} = \frac{0{,}019106}{0{,}15}\cdot0{,}246664 = 0{,}031419\\ \mathrm{m/m},\\[4pt] \alpha_2 &= f_B\frac{1}{D}\frac{V_B^2}{2g} = \frac{0{,}019353}{0{,}15}\cdot0{,}165219 = 0{,}021311\\ \mathrm{m/m}. \end{aligned}
Portanto
h_{f1}=\alpha_1 x,\qquad h_{f2}=\alpha_2(500-x).
Somando:
H_A-H_B = \alpha_1 x + \alpha_2(500-x) = \alpha_2\cdot500 + (\alpha_1-\alpha_2)x.
Numérico:
14{,}15 = 0{,}021311\cdot500 + (0{,}031419-0{,}021311)x.
Calcule o termo constante e o coeficiente de x:
0{,}021311\cdot500 = 10{,}6555,\qquad \alpha_1-\alpha_2 = 0{,}010108.
Isolando x:
x = \frac{14{,}15-10{,}6555}{0{,}010108} = \frac{3{,}4945}{0{,}010108} \approx 345{,}7\\ \mathrm{m}.]

Passo 7

Interpretação rápida: usando Darcy–Weisbach com f obtido pela fórmula de Swamee–Jain (que usa a rugosidade dada e os números de Reynolds calculados) obtemos aproximadamente x\approx345{,}7\\ \mathrm{m} medida a partir de A.

Passo 8

Agora repetimos o cálculo com Hazen–Williams. Explicação da fórmula: para tubulações correntes a fórmula empírica de Hazen–Williams fornece perda de carga por unidade de comprimento como proporcional a Q^{1{,}852}. Uma forma prática em unidades SI é:
h_f = 10{,}67\,\frac{L\,Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}87}},
onde C é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional, típico C\approx130 para aço novo). Aqui vamos assumir C=130 (valor usual para aço novo soldado).

Passo 9

Calcular constantes para cada ramo. Primeiro o denominador comum:
D^{4{,}87} = (0{,}15)^{4{,}87}\approx 9{,}659\times10^{-5},\qquad C^{1{,}852} = 130^{1{,}852}\approx 8{,}244.
Fator global:
K_{\text{base}}=\frac{10{,}67}{C^{1{,}852}D^{4{,}87}} \approx \frac{10{,}67}{8{,}244\cdot9{,}659\times10^{-5}} \approx 13{,}392.
Agora os termos com Q^{1{,}852}:
\begin{aligned} Q_A^{1{,}852} &= (0{,}03888)^{1{,}852}\approx 0{,}002460,\\[4pt] Q_B^{1{,}852} &= (0{,}03181)^{1{,}852}\approx 0{,}001700. \end{aligned}
Portanto os coeficientes por metro são:
\begin{aligned} \beta_1 &= K_{\text{base}}\,Q_A^{1{,}852} \approx 13{,}392\cdot0{,}002460 = 0{,}03296\\ \mathrm{m/m},\\[4pt] \beta_2 &= K_{\text{base}}\,Q_B^{1{,}852} \approx 13{,}392\cdot0{,}001700 = 0{,}02277\\ \mathrm{m/m}. \end{aligned}
As perdas são h_{f1}=\beta_1 x e h_{f2}=\beta_2(500-x). Somando:
14{,}15 = \beta_1 x + \beta_2(500-x) = \beta_2\cdot500 + (\beta_1-\beta_2)x.
Numericamente:
14{,}15 = 0{,}02277\cdot500 + (0{,}03296-0{,}02277)x.
Calcule:
0{,}02277\cdot500 = 11{,}385,\qquad \beta_1-\beta_2 = 0{,}01019.
Isolando x:
x = \frac{14{,}15-11{,}385}{0{,}01019} = \frac{2{,}765}{0{,}01019} \approx 271{,}4\\ \mathrm{m}.]

Passo 10

Resumo e observações práticas (curta e motivadora): os dois métodos dão posições diferentes porque usam modelos distintos para perda de carga. Hazen–Williams é empírica e frequentemente usada em redes de água para projeto rápido; Darcy–Weisbach é mais fundamental (baseada em f que depende de rugosidade e Reynolds). Ambos são aceitos, mas os resultados podem divergir alguns percents a dezenas de metros em 500 m.

Resposta

x\approx345{,}7\\ \mathrm{m} (usando Darcy–Weisbach com Swamee–Jain para f)
x\approx271{,}4\\ \mathrm{m} (usando Hazen–Williams com C=130)

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