2.20 Em uma adutora de 150 mm de diâmetro, em aço soldado novo
mm , enterrada, está ocorrendo um vazamento. Um ensaio de campo para levantamento de vazão e pressão foi feito em dois pontos, A e B, distanciados em 500 m . No ponto A, a cota piezométrica é de
e a vazão, de
.
e no ponto B,
e
. A que distância do ponto A deverá estar localizado o vazamento? Repita o cálculo usando a fórmula de Hazen-Williams.
a)
b)
e no ponto B,
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede a posição do vazamento ao longo da adutora entre os pontos A e B (distância total
), usando duas fórmulas diferentes: primeiro usando a fórmula de Darcy–Weisbach e depois usando a fórmula de Hazen–Williams.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
O que se pede: encontrar a distância
do ponto
até o vazamento, para (1) usar Darcy–Weisbach e (2) repetir usando Hazen–Williams.
Passo 2
Primeiro cálculo útil: vazão do vazamento (diferença entre vazões medidas em A e B):
Isto confirma que o vazamento está entre A e B. Vamos modelar a perda de carga entre A e B como soma das perdas entre A e o vazamento (comprimento
, vazão
) e entre vazamento e B (comprimento
, vazão
). A equação de energia (piezoétricas dadas) implica:
onde
é a perda de carga em
→vazamento e
em vazamento→
.
Passo 3
Preparar parâmetros geométricos e velocidades (valores que usaremos em ambas as fórmulas):
área da seção:
área da seção:
velocidades:
números de Reynolds (usando
):
Passo 4
Darcy–Weisbach: explicação curta da fórmula que vamos usar. A perda de carga por atrito numa tubulação uniforme é
onde
é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
é o comprimento percorrido,
o diâmetro,
a velocidade média e
. Para fluxo turbulento em tubos rugosos usamos a equação de Colebrook; uma forma explícita prática é a fórmula de Swamee–Jain:
Explico cada termo:
é rugosidade absoluta,
o diâmetro,
o número de Reynolds. Swamee–Jain dá
diretamente sem iteração.
Passo 5
Calcular
para os dois regimes (usando os
calculados):
Aplicando Swamee–Jain:
Para
(
):
Para
(
):
(Cálculos feitos aplicando a fórmula e avaliando numericamente os termos com os
obtidos.)]
Passo 6
Calcular as perdas parciais (termos proporcionais a
e a
). Primeiro as alturas dinâmicas:
Agora os coeficientes multiplicadores:
Portanto
Somando:
Numérico:
Calcule o termo constante e o coeficiente de
:
Isolando
:
Passo 7
Interpretação rápida: usando Darcy–Weisbach com
obtido pela fórmula de Swamee–Jain (que usa a rugosidade dada e os números de Reynolds calculados) obtemos aproximadamente
medida a partir de
.
Passo 8
Agora repetimos o cálculo com Hazen–Williams. Explicação da fórmula: para tubulações correntes a fórmula empírica de Hazen–Williams fornece perda de carga por unidade de comprimento como proporcional a
. Uma forma prática em unidades SI é:
onde
é o coeficiente de Hazen–Williams (adimensional, típico
para aço novo). Aqui vamos assumir
(valor usual para aço novo soldado).
Passo 9
Calcular constantes para cada ramo. Primeiro o denominador comum:
Fator global:
Agora os termos com
:
Portanto os coeficientes por metro são:
As perdas são
e
. Somando:
Numericamente:
Calcule:
Isolando
:
Passo 10
Resumo e observações práticas (curta e motivadora): os dois métodos dão posições diferentes porque usam modelos distintos para perda de carga. Hazen–Williams é empírica e frequentemente usada em redes de água para projeto rápido; Darcy–Weisbach é mais fundamental (baseada em f que depende de rugosidade e Reynolds). Ambos são aceitos, mas os resultados podem divergir alguns percents a dezenas de metros em 500 m.