Dada a análise de peneiramento de material passante a seguir, determine o número de partículas por grama e a superfície específica do material, sabendo que sua massa específica vale 3,76 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e o fator de forma é igual a 1,75(\mathrm{a}=2 \mathrm{e} \mathrm{b}=3,5).
Peneira
(malhas)
Fração mássica
do material
passante
4 1,0000
6 0,9902
8 0,9537
10 0,8809
14 0,7439
20 0,5217
28 0,2756
35 0,1556
48 0,0716
65 0,0188
100 0,0000

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o número de partículas por grama do material e a superfície específica do material. As informações dadas são: a massa específica \rho = 3{,}76\\ \mathrm{g/cm^{3}}, o fator de forma F=1{,}75 (foi indicado também a=2 e b=3{,}5), e a análise de peneiramento na forma de fração mássica cumulativa passante em cada malha:\
\begin{array}{c|c} \text{Malha (mesh)} & \text{Fração mássica passante} \\\ \hline 4 & 1{,}0000\\\\ 6 & 0{,}9902\\\\ 8 & 0{,}9537\\\\ 10 & 0{,}8809\\\\ 14 & 0{,}7439\\\\ 20 & 0{,}5217\\\\ 28 & 0{,}2756\\\\ 35 & 0{,}1556\\\\ 48 & 0{,}0716\\\\ 65 & 0{,}0188\\\\ 100 & 0{,}0000 \end{array}
Observações importantes extraídas do enunciado (sem ainda resolver): a tabela fornece frações cumulativas passantes; a massa total pode ser tomada como 1\\ \mathrm{g} para encontrar quantidades por grama; o fator de forma F=1{,}75 deverá ser usado para ajustar resultados de partículas/esfera ideal para a forma real.

Passo 2

Estratégia de aproximação e hipóteses práticas (explicação didática do método que usaremos, passo a passo):\n
  • Vamos dividir o material em classes entre duas malhas consecutivas. A fração mássica de cada classe (retida entre duas malhas) é a diferença entre as frações passantes consecutivas. Isso porque a tabela é cumulativa.\n
  • Para cada classe tomamos um diâmetro representativo igual à média geométrica das aberturas das duas malhas que limitam a classe. Explico: a abertura da malha M (em centímetros) é aproximada por \dfrac{2{,}54}{M} (pois 1 polegada = 2{,}54\\ \mathrm{cm} e assumimos abertura ≈ 1/M polegada). A média geométrica é usada porque a distribuição de tamanhos costuma ser aproximadamente log-normal e a média geométrica representa melhor o “tamanho típico” numa escala logarítmica.\n
  • Vamos (primeiro) estimar número de partículas e superfície específica supondo partículas esféricas equivalentes; depois aplicamos o fator de forma F=1{,}75 para ajustar ao formato real. Esta é uma prática usual quando se tem um fator de forma fornecido.\n
  • Fórmulas básicas (para esferas): massa de uma partícula de diâmetro d: \displaystyle m = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{\pi}{6} d^{3}. Área superficial de uma partícula: \displaystyle s = \pi d^{2}. Portanto, por grama de material, se a fração mássica da classe i é w_{i} (soma das frações = 1), o número de partículas na classe i (por grama) é \displaystyle n_{i}=\frac{w_{i}}{m_{i}}=\frac{w_{i}}{\rho\frac{\pi}{6}d_{i}^{3}}=\frac{6}{\pi\rho}\frac{w_{i}}{d_{i}^{3}}. A contribuição da classe i para a superfície específica (área total por grama) é \displaystyle S_{i}=n_{i}\,s_{i}= \frac{w_{i}}{\rho}\cdot\frac{s_{i}}{V_{i}}=\frac{6}{\rho}\frac{w_{i}}{d_{i}}. Note que mostro as duas expressões completas para que você entenda de onde vêm os fatores numéricos.\n
  • Depois de obter o número total de partículas por grama N_{\text{esf}} e a superfície específica para esferas S_{\text{esf}}, aplicamos o fator de forma multiplicando ambos por F=1{,}75 para obter os valores finais aproximados do material real: N = F\cdot N_{\text{esf}} e S = F\cdot S_{\text{esf}}. (Explicação: o fator de forma dado normalmente corrige a relação área/volume e o modo como volume se relaciona ao diâmetro efetivo; aqui usamos-o como correção multiplicativa, prática comum em exercícios quando não se fornece constante detalhada.)\n

Passo 3

Calcule as frações mássicas de cada classe (diferença entre passantes consecutivos). Vou chamar as malhas consecutivas M_{i} e as frações passantes P(M_{i}). A fração retida (classe) entre M_{i} e M_{i+1} é w_{i}=P(M_{i})-P(M_{i+1}). Fazendo as subtrações (todas as quantidades numéricas estarão em notação matemática):\n
\begin{aligned} w_{1}&=1{,}0000-0{,}9902=0{,}0098,\\\ w_{2}&=0{,}9902-0{,}9537=0{,}0365,\\\ w_{3}&=0{,}9537-0{,}8809=0{,}0728,\\\ w_{4}&=0{,}8809-0{,}7439=0{,}1370,\\\ w_{5}&=0{,}7439-0{,}5217=0{,}2222,\\\ w_{6}&=0{,}5217-0{,}2756=0{,}2461,\\\ w_{7}&=0{,}2756-0{,}1556=0{,}1200,\\\ w_{8}&=0{,}1556-0{,}0716=0{,}0840,\\\ w_{9}&=0{,}0716-0{,}0188=0{,}0528,\\\ w_{10}&=0{,}0188-0{,}0000=0{,}0188. \end{aligned}
Verificação rápida: \sum_{i=1}^{10} w_{i}=1{,}0000 (ok).

Passo 4

Calcule as aberturas das malhas e o diâmetro representativo de cada classe (média geométrica). A abertura (em centímetros) da malha M é aproximada por \displaystyle d(M)=\frac{2{,}54}{M} (pois 2{,}54\\ \mathrm{cm}=1 polegada). O diâmetro representativo da classe entre M_{i} e M_{i+1} é
d_{i}=\sqrt{d(M_{i})\cdot d(M_{i+1})}=\frac{2{,}54}{\sqrt{M_{i}M_{i+1}}}\quad(\mathrm{cm}).
Agora calculamos cada d_{i} (valores numéricos arredondados a 5 algarismos significativos quando útil):\n
\begin{aligned} d_{1}&=\frac{2{,}54}{\sqrt{4\cdot6}}=\frac{2{,}54}{\sqrt{24}}=0{,}51853\\ \mathrm{cm},\\\ d_{2}&=\frac{2{,}54}{\sqrt{6\cdot8}}=\frac{2{,}54}{\sqrt{48}}=0{,}36660\\ \mathrm{cm},\\\ d_{3}&=\frac{2{,}54}{\sqrt{8\cdot10}}=0{,}28391\\ \mathrm{cm},\\\ d_{4}&=\frac{2{,}54}{\sqrt{10\cdot14}}=0{,}21469\\ \mathrm{cm},\\\ d_{5}&=\frac{2{,}54}{\sqrt{14\cdot20}}=0{,}15182\\ \mathrm{cm},\\\ d_{6}&=\frac{2{,}54}{\sqrt{20\cdot28}}=0{,}10739\\ \mathrm{cm},\\\ d_{7}&=\frac{2{,}54}{\sqrt{28\cdot35}}=0{,}08114\\ \mathrm{cm},\\\ d_{8}&=\frac{2{,}54}{\sqrt{35\cdot48}}=0{,}06199\\ \mathrm{cm},\\\ d_{9}&=\frac{2{,}54}{\sqrt{48\cdot65}}=0{,}04547\\ \mathrm{cm},\\\ d_{10}&=\frac{2{,}54}{\sqrt{65\cdot100}}=0{,}03151\\ \mathrm{cm}. \end{aligned}

Passo 5

Fórmulas e constantes numéricas para esferas (aqui dou a “aula” curta sobre as fórmulas usadas):\n
  • Massa de uma partícula esférica de diâmetro d:
m(d)=\rho\cdot V=\rho\cdot\frac{\pi}{6}d^{3}.
  • Número de partículas da classe i por grama (supondo fração mássica w_{i} por grama):
n_{i}=\frac{w_{i}}{m(d_{i})}=\frac{w_{i}}{\rho\frac{\pi}{6}d_{i}^{3}}=\frac{6}{\pi\rho}\cdot\frac{w_{i}}{d_{i}^{3}}.
  • Superfície total por grama proveniente da classe i (área de cada partícula \pi d_{i}^{2}):
S_{i}=n_{i}\cdot \pi d_{i}^{2}=\frac{6}{\rho}\cdot\frac{w_{i}}{d_{i}}.
Portanto, o número total por grama e a superfície específica (para esferas) são:
N_{\text{esf}}=\sum_{i} n_{i}=\frac{6}{\pi\rho}\sum_{i}\frac{w_{i}}{d_{i}^{3}},\qquad S_{\text{esf}}=\sum_{i} S_{i}=\frac{6}{\rho}\sum_{i}\frac{w_{i}}{d_{i}}.
Aqui \rho está em \mathrm{g/cm^{3}}, d_{i} em \mathrm{cm}, então S_{\text{esf}} ficará em \mathrm{cm^{2}/g} e N_{\text{esf}} em partículas por grama.

Passo 6

Calcule as somas numéricas necessárias para esferas: primeiro calcule \displaystyle \sum_{i}\frac{w_{i}}{d_{i}^{3}} e \displaystyle \sum_{i}\frac{w_{i}}{d_{i}}. Vou mostrar cada contribuição e a soma.\n
Cálculos (cada termo mostrado como \dfrac{w_{i}}{d_{i}^{3}} e \dfrac{w_{i}}{d_{i}}, arredondados com precisão suficiente):
\begin{aligned} \frac{w_{1}}{d_{1}^{3}}&=\frac{0{,}0098}{(0{,}51853)^{3}}=0{,}07029, &\quad \frac{w_{1}}{d_{1}}&=\frac{0{,}0098}{0{,}51853}=0{,}01890,\\[4pt] \frac{w_{2}}{d_{2}^{3}}&=\frac{0{,}0365}{(0{,}36660)^{3}}=0{,}7406, &\quad \frac{w_{2}}{d_{2}}&=\frac{0{,}0365}{0{,}36660}=0{,}09960,\\[4pt] \frac{w_{3}}{d_{3}^{3}}&=\frac{0{,}0728}{(0{,}28391)^{3}}=3{,}181, &\quad \frac{w_{3}}{d_{3}}&=\frac{0{,}0728}{0{,}28391}=0{,}2565,\\[4pt] \frac{w_{4}}{d_{4}^{3}}&=\frac{0{,}1370}{(0{,}21469)^{3}}=13{,}839, &\quad \frac{w_{4}}{d_{4}}&=\frac{0{,}1370}{0{,}21469}=0{,}6379,\\[4pt] \frac{w_{5}}{d_{5}^{3}}&=\frac{0{,}2222}{(0{,}15182)^{3}}=63{,}520, &\quad \frac{w_{5}}{d_{5}}&=\frac{0{,}2222}{0{,}15182}=1{,}4635,\\[4pt] \frac{w_{6}}{d_{6}^{3}}&=\frac{0{,}2461}{(0{,}10739)^{3}}=198{,}80, &\quad \frac{w_{6}}{d_{6}}&=\frac{0{,}2461}{0{,}10739}=2{,}2918,\\[4pt] \frac{w_{7}}{d_{7}^{3}}&=\frac{0{,}1200}{(0{,}08114)^{3}}=224{,}53, &\quad \frac{w_{7}}{d_{7}}&=\frac{0{,}1200}{0{,}08114}=1{,}4795,\\[4pt] \frac{w_{8}}{d_{8}^{3}}&=\frac{0{,}0840}{(0{,}06199)^{3}}=352{,}75, &\quad \frac{w_{8}}{d_{8}}&=\frac{0{,}0840}{0{,}06199}=1{,}3550,\\[4pt] \frac{w_{9}}{d_{9}^{3}}&=\frac{0{,}0528}{(0{,}04547)^{3}}=561{,}54, &\quad \frac{w_{9}}{d_{9}}&=\frac{0{,}0528}{0{,}04547}=1{,}1609,\\[4pt] \frac{w_{10}}{d_{10}^{3}}&=\frac{0{,}0188}{(0{,}03151)^{3}}=600{,}91, &\quad \frac{w_{10}}{d_{10}}&=\frac{0{,}0188}{0{,}03151}=0{,}5970. \end{aligned}
Agora somamos os termos:\n
\sum_{i=1}^{10}\frac{w_{i}}{d_{i}^{3}} \approx 2019{,}88,\qquad \sum_{i=1}^{10}\frac{w_{i}}{d_{i}} \approx 9{,}3606.]

Passo 7

Calcule N_{\text{esf}} e S_{\text{esf}} (valores para esferas) usando \rho=3{,}76\\ \mathrm{g/cm^{3}}.\n
Constantes numéricas:\ \displaystyle \frac{6}{\pi\rho}=\frac{6}{\pi\cdot3{,}76}\approx 0{,}5079,\quad \displaystyle \frac{6}{\rho}=\frac{6}{3{,}76}\approx 1{,}59574468.\n
Então
N_{\text{esf}}=\frac{6}{\pi\rho}\sum_{i}\frac{w_{i}}{d_{i}^{3}} \approx 0{,}5079\times2019{,}88\approx1026{,}0\\ \text{partículas/g}.í
S_{\text{esf}}=\frac{6}{\rho}\sum_{i}\frac{w_{i}}{d_{i}} \approx 1{,}59574468\times9{,}3606\approx14{,}94\\ \mathrm{cm^{2}/g}.
Interpretação: se as partículas fossem esferas perfeitas com os diâmetros representativos usados, teríamos cerca de 1026 partículas por grama e superfície específica 14{,}94\\ \mathrm{cm^{2}/g}.

Passo 8

Aplicar o fator de forma F=1{,}75 para ajustar para o formato real do material (explicação curta: o fator dado corrige a relação área/volume/diâmetro para partículas não esféricas; aqui aplicamos como multiplicador dos resultados obtidos para esferas, prática comum em exercícios quando se fornece um único fator de forma). Assim:
N = F\cdot N_{\text{esf}} = 1{,}75 \times 1026{,}0 \approx 1795{,}5\\ \text{partículas/g},í
S = F\cdot S_{\text{esf}} = 1{,}75 \times 14{,}94 \approx 26{,}15\\ \mathrm{cm^{2}/g}.
Arredondando de forma razoável para duas ou três algarismos significativos importantes para este tipo de dado, obtemos N\approx1{,}80\times10^{3}\\ \mathrm{partículas/g}í e S\approx26{,}1\\ \mathrm{cm^{2}/g}.

Resposta

N\approx 1{,}80\times10^{3}\\ \text{partículas/g}í
S\approx 26{,}1\\ \mathrm{cm^{2}/g}

Exercícios relacionados