Dada a análise de peneiramento de material passante a seguir, determine o número de partículas por grama e a superfície específica do material, sabendo que sua massa específica vale
e o fator de forma é igual a
.
Peneira
(malhas)
Fração mássica
do material
passante
4
1,0000
6
0,9902
8
0,9537
10
0,8809
14
0,7439
20
0,5217
28
0,2756
35
0,1556
48
0,0716
65
0,0188
100
0,0000
|
|
|||||
| 4 | 1,0000 | |||||
| 6 | 0,9902 | |||||
| 8 | 0,9537 | |||||
| 10 | 0,8809 | |||||
| 14 | 0,7439 | |||||
| 20 | 0,5217 | |||||
| 28 | 0,2756 | |||||
| 35 | 0,1556 | |||||
| 48 | 0,0716 | |||||
| 65 | 0,0188 | |||||
| 100 | 0,0000 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: o número de partículas por grama do material e a superfície específica do material. As informações dadas são: a massa específica
, o fator de forma
(foi indicado também
e
), e a análise de peneiramento na forma de fração mássica cumulativa passante em cada malha:\
Observações importantes extraídas do enunciado (sem ainda resolver): a tabela fornece frações cumulativas passantes; a massa total pode ser tomada como
para encontrar quantidades por grama; o fator de forma
deverá ser usado para ajustar resultados de partículas/esfera ideal para a forma real.
Passo 2
Estratégia de aproximação e hipóteses práticas (explicação didática do método que usaremos, passo a passo):\n
- Vamos dividir o material em classes entre duas malhas consecutivas. A fração mássica de cada classe (retida entre duas malhas) é a diferença entre as frações passantes consecutivas. Isso porque a tabela é cumulativa.\n
- Para cada classe tomamos um diâmetro representativo igual à média geométrica das aberturas das duas malhas que limitam a classe. Explico: a abertura da malha
(em centímetros) é aproximada por (pois polegada = e assumimos abertura ≈ polegada). A média geométrica é usada porque a distribuição de tamanhos costuma ser aproximadamente log-normal e a média geométrica representa melhor o “tamanho típico” numa escala logarítmica.\n - Vamos (primeiro) estimar número de partículas e superfície específica supondo partículas esféricas equivalentes; depois aplicamos o fator de forma
para ajustar ao formato real. Esta é uma prática usual quando se tem um fator de forma fornecido.\n - Fórmulas básicas (para esferas): massa de uma partícula de diâmetro
: . Área superficial de uma partícula: . Portanto, por grama de material, se a fração mássica da classe é (soma das frações = 1), o número de partículas na classe (por grama) é . A contribuição da classe para a superfície específica (área total por grama) é . Note que mostro as duas expressões completas para que você entenda de onde vêm os fatores numéricos.\n - Depois de obter o número total de partículas por grama
e a superfície específica para esferas , aplicamos o fator de forma multiplicando ambos por para obter os valores finais aproximados do material real: e . (Explicação: o fator de forma dado normalmente corrige a relação área/volume e o modo como volume se relaciona ao diâmetro efetivo; aqui usamos-o como correção multiplicativa, prática comum em exercícios quando não se fornece constante detalhada.)\n
Passo 3
Calcule as frações mássicas de cada classe (diferença entre passantes consecutivos). Vou chamar as malhas consecutivas
e as frações passantes
. A fração retida (classe) entre
e
é
. Fazendo as subtrações (todas as quantidades numéricas estarão em notação matemática):\n
Verificação rápida:
(ok).
Passo 4
Calcule as aberturas das malhas e o diâmetro representativo de cada classe (média geométrica). A abertura (em centímetros) da malha
é aproximada por
(pois
polegada). O diâmetro representativo da classe entre
e
é
Agora calculamos cada
(valores numéricos arredondados a 5 algarismos significativos quando útil):\n
Passo 5
Fórmulas e constantes numéricas para esferas (aqui dou a “aula” curta sobre as fórmulas usadas):\n
- Massa de uma partícula esférica de diâmetro
:
- Número de partículas da classe
por grama (supondo fração mássica por grama):
- Superfície total por grama proveniente da classe
(área de cada partícula ):
Portanto, o número total por grama e a superfície específica (para esferas) são:
Aqui
está em
,
em
, então
ficará em
e
em partículas por grama.
Passo 6
Calcule as somas numéricas necessárias para esferas: primeiro calcule
e
. Vou mostrar cada contribuição e a soma.\n
Cálculos (cada termo mostrado como e
, arredondados com precisão suficiente):
Cálculos (cada termo mostrado como
Agora somamos os termos:\n
Passo 7
Calcule
e
(valores para esferas) usando
.\n
Constantes numéricas:\ ,\quad
\n
Então
Constantes numéricas:\
Então
Interpretação: se as partículas fossem esferas perfeitas com os diâmetros representativos usados, teríamos cerca de
partículas por grama e superfície específica
.
Passo 8
Aplicar o fator de forma
para ajustar para o formato real do material (explicação curta: o fator dado corrige a relação área/volume/diâmetro para partículas não esféricas; aqui aplicamos como multiplicador dos resultados obtidos para esferas, prática comum em exercícios quando se fornece um único fator de forma). Assim:
Arredondando de forma razoável para duas ou três algarismos significativos importantes para este tipo de dado, obtemos
e
.