(a) A intensidade no centro de uma figura de difração de fenda única é
. Qual é a intensidade em um ponto onde a diferença de fase total entre as ondas secundárias provenientes do topo e da parte inferior da fenda é igual a 66 rad? (b) Se esse ponto está
afastado do máximo central, quantos comprimentos de onda de largura tem a fenda?
Passo 1
Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
-
Dados fornecidos:
- A intensidade no centro é
. - A diferença de fase total entre as ondas vindas do topo e da parte inferior da fenda é
(ou seja ). - Em (b) o ponto considerado está a
do máximo central (ou seja ).
- A intensidade no centro é
-
O que o enunciado pede:
- (a) A intensidade naquele ponto onde
, expressa em função de e numericamente. - (b) Sabendo que esse ponto corresponde a
, determinar quantos comprimentos de onda de largura tem a fenda, ou seja calcular .
- (a) A intensidade naquele ponto onde
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
-
Ideia física simples:
- Uma fenda de largura
pode ser vista como uma sucessão de fontes elementares ao longo de sua altura. Para um ângulo de observação, ondas vindas de diferentes pontos da fenda têm diferenças de fase devido à diferença de caminho. - A amplitude resultante em
é a soma (integral) dessas contribuições com fase dependente de . O cálculo da integral leva à função sinc clássica.
- Uma fenda de largura
-
Definições e fórmulas importantes:
- Número de onda:
, onde é o comprimento de onda. - A fase total entre o topo e a base da fenda (diferença de fase entre as extremidades) é
- Define-se o parâmetro
usado na fórmula padrão como metade dessa fase: Explicação: a integral da amplitude vai de a , por isso aparece o fator que leva à definição de . - A intensidade relativa (normalizada ao máximo central) para difração de fenda única é
onde é a intensidade no máximo central ( , onde e a razão vale 1). - Observação útil: Como
, podemos escrever a intensidade em termos de se for mais conveniente:
- Número de onda:
Passo 3
Aplicando a fórmula ao item (a): intensidade quando
.
- Como visto acima,
. Então, para , - A intensidade é
Agora vamos avaliar numericamente (33 em radianos). - Cálculo prático de
: - Note que uma volta
. Podemos reduzir subtraindo inteiros múltiplos de para facilitar a avaliação: . Ou seja é equivalente a (mesma função seno). -
é muito próximo de , portanto (próximo de 1).
- Note que uma volta
- Agora a razão:
Elevando ao quadrado: - Portanto
Interpretação: essa intensidade é cerca de do máximo central — bem fraca, porque o parâmetro é grande.
Passo 4
Item (b): determinar
sabendo que o ponto está a
e que a diferença de fase total entre as extremidades é
.
- Partimos da relação
Reorganizando para : - Substituindo
e : - Primeiro calcule
. Usando o valor padrão, - Agora o denominador:
- Logo
- Primeiro calcule
- Interpretação: a fenda tem largura de aproximadamente
comprimentos de onda (ou seja, ). É uma fenda relativamente larga em relação ao comprimento de onda, o que explica os muitos lóbulos da difração e a intensidade pequena nesse ângulo específico.
Passo 5
Resumo rápido e encorajamento: resultados práticos e como usar em prova.
- Para a prova, é suficiente lembrar a fórmula
quando a informação vier em termos da diferença de fase entre extremidades da fenda. Em seguida, calcule , avalie (reduzindo módulo se for grande) e faça a divisão e o quadrado. Para a largura da fenda em comprimentos de onda, isole de . - Você foi bem! Mesmo quando a fase é um número grande (como 66 rad), a fórmula continua válida — só cuide da avaliação numérica do seno.
Resposta
(a)
(b)