(a) A intensidade no centro de uma figura de difração de fenda única é I_{0}. Qual é a intensidade em um ponto onde a diferença de fase total entre as ondas secundárias provenientes do topo e da parte inferior da fenda é igual a 66 rad? (b) Se esse ponto está 7,0^{\circ} afastado do máximo central, quantos comprimentos de onda de largura tem a fenda?

Passo 1

Vou organizar direitinho o que o enunciado dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • A intensidade no centro é \,I_0.
    • A diferença de fase total entre as ondas vindas do topo e da parte inferior da fenda é \,66\\ \text{rad} (ou seja \Delta\varphi=66\\ \text{rad}).
    • Em (b) o ponto considerado está a \,7{,}0^\circ do máximo central (ou seja \theta=7{,}0^\circ).
  • O que o enunciado pede:
    • (a) A intensidade naquele ponto onde \Delta\varphi=66\\ \text{rad}, expressa em função de \,I_0 e numericamente.
    • (b) Sabendo que esse ponto corresponde a \theta=7{,}0^\circ, determinar quantos comprimentos de onda de largura tem a fenda, ou seja calcular \,a/\lambda.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática e passo a passo).
  • Ideia física simples:
    • Uma fenda de largura \,a pode ser vista como uma sucessão de fontes elementares ao longo de sua altura. Para um ângulo \theta de observação, ondas vindas de diferentes pontos da fenda têm diferenças de fase devido à diferença de caminho.
    • A amplitude resultante em \theta é a soma (integral) dessas contribuições com fase dependente de \theta. O cálculo da integral leva à função sinc clássica.
  • Definições e fórmulas importantes:
    • Número de onda: \,k=\dfrac{2\pi}{\lambda}, onde \lambda é o comprimento de onda.
    • A fase total entre o topo e a base da fenda (diferença de fase entre as extremidades) é \Delta\varphi = k a \sin\theta = \dfrac{2\pi}{\lambda}\,a\sin\theta.
    • Define-se o parâmetro \alpha usado na fórmula padrão como metade dessa fase: \alpha = \dfrac{\Delta\varphi}{2} = \dfrac{k a \sin\theta}{2} = \dfrac{\pi a \sin\theta}{\lambda}.Explicação: a integral da amplitude vai de -a/2 a +a/2, por isso aparece o fator 1/2 que leva à definição de \alpha.
    • A intensidade relativa (normalizada ao máximo central) para difração de fenda única é I(\theta)=I_0\left(\dfrac{\sin\alpha}{\alpha}\right)^2,onde \,I_0 é a intensidade no máximo central ( \theta=0, onde \alpha\to0 e a razão vale 1).
    • Observação útil: Como \alpha=\Delta\varphi/2, podemos escrever a intensidade em termos de \Delta\varphi se for mais conveniente: I(\theta)=I_0\left(\dfrac{\sin(\Delta\varphi/2)}{\Delta\varphi/2}\right)^2.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao item (a): intensidade quando \Delta\varphi=66\\ \text{rad}.
  • Como visto acima, \alpha=\dfrac{\Delta\varphi}{2}. Então, para \Delta\varphi=66\\ \text{rad}, \alpha = \dfrac{66}{2}=33\\ \text{rad}.
  • A intensidade é I = I_0\left(\dfrac{\sin 33}{33}\right)^2.Agora vamos avaliar numericamente \sin 33 (33 em radianos).
  • Cálculo prático de \sin 33:
    • Note que uma volta 2\pi\approx6{,}283185\\ \text{rad}. Podemos reduzir 33 subtraindo inteiros múltiplos de 2\pi para facilitar a avaliação: 33 \approx 5\cdot 2\pi + 1{,}5841. Ou seja 33\\ \text{rad} é equivalente a 1{,}5841\\ \text{rad} (mesma função seno).
    • 1{,}5841\\ \text{rad} é muito próximo de \pi/2\approx1{,}5708, portanto \sin 33\approx\sin(1{,}5841)\approx0{,}99991 (próximo de 1).
  • Agora a razão: \dfrac{\sin 33}{33}\approx \dfrac{0{,}99991}{33}\approx 0{,}030301.Elevando ao quadrado: \left(\dfrac{\sin 33}{33}\right)^2 \approx (0{,}030301)^2 \approx 0{,}000918.
  • Portanto I \approx 9{,}18\times10^{-4}\,I_0.Interpretação: essa intensidade é cerca de 0{,}0918\% do máximo central — bem fraca, porque o parâmetro \alpha é grande.

Passo 4

Item (b): determinar \,a/\lambda sabendo que o ponto está a \theta=7{,}0^\circ e que a diferença de fase total entre as extremidades é \Delta\varphi=66\\ \text{rad}.
  • Partimos da relação \Delta\varphi = \dfrac{2\pi}{\lambda}\,a\sin\theta.Reorganizando para \,a/\lambda: \dfrac{a}{\lambda} = \dfrac{\Delta\varphi}{2\pi\sin\theta}.
  • Substituindo \Delta\varphi=66 e \theta=7{,}0^\circ:
    • Primeiro calcule \sin 7{,}0^\circ. Usando o valor padrão, \sin 7{,}0^\circ \approx 0{,}121869.
    • Agora o denominador: 2\pi\sin 7{,}0^\circ \approx 6{,}283185\times 0{,}121869 \approx 0{,}76575.
    • Logo \dfrac{a}{\lambda} \approx \dfrac{66}{0{,}76575} \approx 86{,}2.
  • Interpretação: a fenda tem largura de aproximadamente 86{,}2 comprimentos de onda (ou seja, a\approx86{,}2\,\lambda). É uma fenda relativamente larga em relação ao comprimento de onda, o que explica os muitos lóbulos da difração e a intensidade pequena nesse ângulo específico.

Passo 5

Resumo rápido e encorajamento: resultados práticos e como usar em prova.
  • Para a prova, é suficiente lembrar a fórmula I(\theta)=I_0\left(\dfrac{\sin(\Delta\varphi/2)}{\Delta\varphi/2}\right)^2quando a informação vier em termos da diferença de fase entre extremidades da fenda. Em seguida, calcule \alpha=\Delta\varphi/2, avalie \sin\alpha (reduzindo módulo 2\pi se \alpha for grande) e faça a divisão e o quadrado. Para a largura da fenda em comprimentos de onda, isole a/\lambda de \Delta\varphi=(2\pi/\lambda)a\sin\theta.
  • Você foi bem! Mesmo quando a fase é um número grande (como 66 rad), a fórmula continua válida — só cuide da avaliação numérica do seno.

Resposta

(a) I = I_0\left(\dfrac{\sin 33}{33}\right)^2 \approx 9{,}18\times10^{-4}\,I_0
(b) \dfrac{a}{\lambda} \approx 86{,}2

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