Questão 1: Um objeto move-se em uma trajetória não retilínea descrita pela função vetorial de velocidade: sendo x em metros e t em segundos. Saiba que a posição inicial é
\mathrm{x}_{0}=-1 metros e \mathrm{y}_{0}=5 em y (OU SEJA, )
(a) Encontre a equação horária vetorial de posição, (t) e o vetor aceleração, (t).
(b) Considere que após 1 segundo do início do movimento um segundo objeto também começa a se movimentar com as mesmas equações horárias. Em t=3s qual é o vetor velocidade relativo entre eles. O tempo inicia com o movimento do primeiro objeto.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Encontrar a equação horária vetorial de posição \mathbf{r}(t) e o vetor aceleração \mathbf{a}(t).
  • (b) Considerando que o segundo objeto começa a mover-se 1 segundo depois com as mesmas equações horárias, calcular em t=3\\ \text{s} o vetor velocidade relativo entre os dois objetos. O tempo t é contado a partir do início do movimento do primeiro objeto.
As informações fornecidas no enunciado:
  • A posição inicial é \mathrm{x}_0=-1\\ \text{m} e \mathrm{y}_0=5\\ \text{m}. Ou seja, \mathbf{r}_0=\langle -1,\,5\rangle.
  • Faltante crucial: a função vetorial da velocidade \mathbf{v}(t) NÃO foi fornecida no enunciado recebido. Esta função é necessária para obter valores numéricos de \mathbf{r}(t), \mathbf{a}(t) e do vetor velocidade relativo em t=3\\ \text{s}.
Conclusão imediata: sem \mathbf{v}(t) não é possível calcular resultados numéricos específicos. Nos próximos passos vou:
  • explicar passo a passo como se resolve a questão quando \mathbf{v}(t) é conhecida (para você aprender a fazer na prova);
  • apresentar as fórmulas gerais que se aplicam;
  • dar um exemplo numérico completo com uma \mathbf{v}(t) simples para ilustrar o procedimento (mas esse exemplo é apenas ilustrativo, não inventa dados para o enunciado original).

Passo 2

O que significa “equação horária vetorial de posição” e como obtê-la a partir da velocidade.
Seja, em geral,
\mathbf{v}(t)=\langle v_x(t),\,v_y(t)\rangle,
onde v_x(t) é a componente da velocidade no eixo x (em \text{m/s}) e v_y(t) é a componente no eixo y. Essas são funções de t (tempo em segundos).
Conceito e fórmula fundamentais:
  • Velocidade é a derivada da posição: \mathbf{v}(t)=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt}(t).
  • Logo, posição obtém-se integrando a velocidade a partir do instante inicial. Com o instante inicial t=0 e posição inicial \mathbf{r}_0, tem-se a fórmula geral
\mathbf{r}(t)=\mathbf{r}_0+\int_{0}^{t}\mathbf{v}(s)\,ds,
ou componente a componente,
x(t)=x_0+\int_{0}^{t} v_x(s)\,ds,\qquad y(t)=y_0+\int_{0}^{t} v_y(s)\,ds.
Explicação prática sobre a integral:
  • Integrar \mathbf{v}(s) significa integrar cada componente. Se v_x(s) for, por exemplo, um polinômio as^2+bs+c, a integral é \tfrac{a}{3}s^3+\tfrac{b}{2}s^2+cs. Se for constante, a integral é constante vezes s. Essas são operações que se fazem sem calculadora para funções comuns.

Passo 3

Como obter o vetor aceleração e interpretação física.
Definição:
\mathbf{a}(t)=\dfrac{d\mathbf{v}}{dt}(t).
Em componentes,
\mathbf{a}(t)=\langle v_x'(t),\,v_y'(t)\rangle.
Significado: aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. Para cada componente:
  • Se v_x(t)= função conhecida, calcula-se sua derivada v_x'(t).
  • Derivadas de funções polinomiais e exponenciais ou trigonométricas seguem regras básicas (produto, soma, regra da cadeia). Em provas de nível básico/graduação, normalmente aparecem polinômios ou constantes, fáceis de derivar à mão.

Passo 4

Como tratar o segundo objeto que começa a se mover 1 segundo depois, e como calcular a velocidade relativa.
Interpretação usual (quando se diz “começa a se movimentar com as mesmas equações horárias”): o segundo objeto tem a mesma lei funcional, mas sua origem de tempo é 1 segundo posterior. Então:
  • Velocidade do primeiro objeto (objeto 1) em tempo absoluto t: \mathbf{v}_1(t)=\mathbf{v}(t) para t\ge0.
  • Velocidade do segundo objeto (objeto 2) em tempo absoluto t:
    • para t<1: \mathbf{v}_2(t)=\mathbf{0} (ainda está parado, se supondo repouso antes de começar).
    • para t\ge1: a variável local do segundo objeto é \tau=t-1. Assim a velocidade do segundo em termos de t é \mathbf{v}_2(t)=\mathbf{v}(t-1) para t\ge1.
Velocidade relativa do objeto 1 em relação ao objeto 2 (no mesmo instante absoluto t) é
\mathbf{v}_{\text{rel}}(t)=\mathbf{v}_1(t)-\mathbf{v}_2(t).
Portanto, para t\ge1,
\mathbf{v}_{\text{rel}}(t)=\mathbf{v}(t)-\mathbf{v}(t-1).
Para o instante pedido t=3\\ \text{s} (que é \ge1), a expressão específica é
\mathbf{v}_{\text{rel}}(3)=\mathbf{v}(3)-\mathbf{v}(2).
Observação importante: isto é totalmente independente da posição inicial; depende só da velocidade. É por isso que a parte (b) pede vetor velocidade relativo.

Passo 5

Passo a passo computacional (o que você faria na prova assim que receber \mathbf{v}(t)).
  1. Identifique \mathbf{v}(t)=\langle v_x(t),v_y(t)\rangle.
  2. Calcule a aceleração: \mathbf{a}(t)=\langle v_x'(t),v_y'(t)\rangle.
    • Derive cada componente. Ex.: se v_x(t)=3t^2 então v_x'(t)=6t.
  3. Calcule a posição usando a integral com a condição inicial \mathbf{r}_0=\langle -1,5\rangle:
\mathbf{r}(t)=\langle -1,5\rangle + \left\langle \int_0^t v_x(s)\,ds,\\ \int_0^t v_y(s)\,ds\right\rangle.
  • Faça as integrais componente a componente; inclua a constante inicial (que aqui já está incorporada em \mathbf{r}_0).
  1. Para a parte (b), calcule \mathbf{v}_{\text{rel}}(3)=\mathbf{v}(3)-\mathbf{v}(2). Substitua os valores numéricos das componentes de \mathbf{v} em t=3 e t=2 e subtraia componente a componente.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para praticar o procedimento).
Suponha que o enunciado tivesse dado
\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\,3\rangle.
Isto é só um exemplo que escolhi para mostrar as contas; NÃO é a função do enunciado original (que não foi fornecida).
(a) Calcular \mathbf{r}(t) e \mathbf{a}(t) com \mathbf{r}_0=\langle -1,5\rangle.
  • Aceleração:
\mathbf{a}(t)=\frac{d}{dt}\mathbf{v}(t)=\big\langle \tfrac{d}{dt}(2t),\\ \tfrac{d}{dt}(3)\big\rangle=\langle 2,\,0\rangle.
Explicação: derivada de 2t é 2; derivada de constante 3 é 0.
  • Posição (integrar componentes desde 0 até t):
\int_0^t 2s\,ds = \left[s^2\right]_0^t = t^2, \qquad \int_0^t 3\,ds = \left[3s\right]_0^t = 3t.
Então
\mathbf{r}(t)=\langle -1,\,5\rangle + \langle t^2,\,3t\rangle = \langle -1+t^2,\,5+3t\rangle.
(b) Velocidade relativa em t=3\\ \text{s}. Como o segundo objeto começa em t=1, para t=3 temos
\mathbf{v}_{\text{rel}}(3)=\mathbf{v}(3)-\mathbf{v}(2).
Calcule:
\mathbf{v}(3)=\langle 2\cdot 3,\,3\rangle=\langle 6,\,3\rangle, \qquad \mathbf{v}(2)=\langle 2\cdot 2,\,3\rangle=\langle 4,\,3\rangle.
Subtraindo componente a componente:
\mathbf{v}_{\text{rel}}(3)=\langle 6-4,\,3-3\rangle=\langle 2,\,0\rangle.
Interpretação: no exemplo, em t=3 o objeto 1 está se movendo 2 m/s mais rápido que o objeto 2 na direção x, e têm mesma velocidade na direção y.

Passo 7

Resumo final e o que falta para obter as respostas numéricas do enunciado original.
  • O procedimento exato para resolver (a) e (b) foi mostrado passo a passo acima.
  • No entanto, para obter os resultados NUMÉRICOS do enunciado original é obrigatório conhecer a função vetorial velocidade \mathbf{v}(t). Essa função não foi incluída no enunciado recebido, portanto não é possível fornecer os resultados numéricos específicos pedidos em (a) e (b) para o problema tal como foi enviado.

Resposta

Não é possível calcular numericamente porque a função vetorial velocidade \mathbf{v}(t) não foi fornecida. Em geral: \mathbf{r}(t)=\langle -1,5\rangle+\displaystyle\int_{0}^{t}\mathbf{v}(s)\,ds, \mathbf{a}(t)=\mathbf{v}'(t) e \mathbf{v}_{\text{rel}}(3)=\mathbf{v}(3)-\mathbf{v}(2).

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