Questão 1: Um objeto move-se em uma trajetória não retilínea descrita pela função vetorial de velocidade: sendo
em metros e
em segundos. Saiba que a posição inicial é
metros e
em y (OU SEJA, )
(a) Encontre a equação horária vetorial de posição,
e o vetor aceleração,
.
(b) Considere que após 1 segundo do início do movimento um segundo objeto também começa a se movimentar com as mesmas equações horárias. Em t=3s qual é o vetor velocidade relativo entre eles. O tempo inicia com o movimento do primeiro objeto.
(a) Encontre a equação horária vetorial de posição,
(b) Considere que após 1 segundo do início do movimento um segundo objeto também começa a se movimentar com as mesmas equações horárias. Em t=3s qual é o vetor velocidade relativo entre eles. O tempo inicia com o movimento do primeiro objeto.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Encontrar a equação horária vetorial de posição
e o vetor aceleração . - (b) Considerando que o segundo objeto começa a mover-se 1 segundo depois com as mesmas equações horárias, calcular em
o vetor velocidade relativo entre os dois objetos. O tempo é contado a partir do início do movimento do primeiro objeto.
As informações fornecidas no enunciado:
- A posição inicial é
e . Ou seja, . - Faltante crucial: a função vetorial da velocidade
NÃO foi fornecida no enunciado recebido. Esta função é necessária para obter valores numéricos de , e do vetor velocidade relativo em .
Conclusão imediata: sem
não é possível calcular resultados numéricos específicos. Nos próximos passos vou:
- explicar passo a passo como se resolve a questão quando
é conhecida (para você aprender a fazer na prova); - apresentar as fórmulas gerais que se aplicam;
- dar um exemplo numérico completo com uma
simples para ilustrar o procedimento (mas esse exemplo é apenas ilustrativo, não inventa dados para o enunciado original).
Passo 2
O que significa “equação horária vetorial de posição” e como obtê-la a partir da velocidade.
Seja, em geral,
onde
é a componente da velocidade no eixo
(em
) e
é a componente no eixo
. Essas são funções de
(tempo em segundos).
Conceito e fórmula fundamentais:
- Velocidade é a derivada da posição:
. - Logo, posição obtém-se integrando a velocidade a partir do instante inicial. Com o instante inicial
e posição inicial , tem-se a fórmula geral
ou componente a componente,
Explicação prática sobre a integral:
- Integrar
significa integrar cada componente. Se for, por exemplo, um polinômio , a integral é . Se for constante, a integral é constante vezes . Essas são operações que se fazem sem calculadora para funções comuns.
Passo 3
Como obter o vetor aceleração e interpretação física.
Definição:
Em componentes,
Significado: aceleração é a taxa de variação da velocidade no tempo. Para cada componente:
- Se
função conhecida, calcula-se sua derivada . - Derivadas de funções polinomiais e exponenciais ou trigonométricas seguem regras básicas (produto, soma, regra da cadeia). Em provas de nível básico/graduação, normalmente aparecem polinômios ou constantes, fáceis de derivar à mão.
Passo 4
Como tratar o segundo objeto que começa a se mover 1 segundo depois, e como calcular a velocidade relativa.
Interpretação usual (quando se diz “começa a se movimentar com as mesmas equações horárias”): o segundo objeto tem a mesma lei funcional, mas sua origem de tempo é 1 segundo posterior. Então:
- Velocidade do primeiro objeto (objeto 1) em tempo absoluto
: para . - Velocidade do segundo objeto (objeto 2) em tempo absoluto
: - para
: (ainda está parado, se supondo repouso antes de começar). - para
: a variável local do segundo objeto é . Assim a velocidade do segundo em termos de é para .
- para
Velocidade relativa do objeto 1 em relação ao objeto 2 (no mesmo instante absoluto
) é
Portanto, para
,
Para o instante pedido
(que é
), a expressão específica é
Observação importante: isto é totalmente independente da posição inicial; depende só da velocidade. É por isso que a parte (b) pede vetor velocidade relativo.
Passo 5
Passo a passo computacional (o que você faria na prova assim que receber
).
- Identifique
. - Calcule a aceleração:
. - Derive cada componente. Ex.: se
então .
- Derive cada componente. Ex.: se
- Calcule a posição usando a integral com a condição inicial
:
- Faça as integrais componente a componente; inclua a constante inicial (que aqui já está incorporada em
).
- Para a parte (b), calcule
. Substitua os valores numéricos das componentes de em e e subtraia componente a componente.
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para praticar o procedimento).
Suponha que o enunciado tivesse dado
Isto é só um exemplo que escolhi para mostrar as contas; NÃO é a função do enunciado original (que não foi fornecida).
(a) Calcular
e
com
.
- Aceleração:
Explicação: derivada de
é
; derivada de constante
é
.
- Posição (integrar componentes desde
até ):
Então
(b) Velocidade relativa em
. Como o segundo objeto começa em
, para
temos
Calcule:
Subtraindo componente a componente:
Interpretação: no exemplo, em
o objeto 1 está se movendo 2 m/s mais rápido que o objeto 2 na direção
, e têm mesma velocidade na direção
.
Passo 7
Resumo final e o que falta para obter as respostas numéricas do enunciado original.
- O procedimento exato para resolver (a) e (b) foi mostrado passo a passo acima.
- No entanto, para obter os resultados NUMÉRICOS do enunciado original é obrigatório conhecer a função vetorial velocidade
. Essa função não foi incluída no enunciado recebido, portanto não é possível fornecer os resultados numéricos específicos pedidos em (a) e (b) para o problema tal como foi enviado.
Resposta
Não é possível calcular numericamente porque a função vetorial velocidade
não foi fornecida. Em geral:
,
e
.