(2,5) Questão 1: A equação de um corpo em movimento varia no tempo de acordo com a equação \vec{r}=-\left(32-3,0 t^{2}\right) \hat{j}+15 t \hat{k} onde as distâncias são dadas em metros e o tempo em segundos. Calcule:
a) (1,0) o vetor velocidade, a velocidade instantânea em t=3 \mathrm{~s} e a velocidade média entre 0 e 3 segundos.
b) (1,0) \mathrm{O} vetor aceleração e a aceleração no instante \mathrm{t}=5 \mathrm{~s}.
c) (0,5) Que tipo de movimento acontece em cada direção?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado (peguei-os do enunciado que você enviou):
A posição do corpo é dada por \vec{r} = -\bigl(32 - 3,0\, t^{2}\bigr)\,\hat{j} + 15\,t\,\hat{k}, com distâncias em metros e tempo em segundos.
Interpretei o termo -\bigl(32 - 3,0\, t^{2}\bigr)\,\hat{j} como o componente na direção \hat{j} igual a -32 + 3,0\,t^{2}.
O enunciado pede:
a) o vetor velocidade (função do tempo), a velocidade instantânea em t=3\\ \mathrm{s} e a velocidade média entre 0 e 3\\ \mathrm{s};
b) o vetor aceleração e a aceleração no instante t=5\\ \mathrm{s};
c) que tipo de movimento acontece em cada direção (\hat{j} e \hat{k}).
Passo 2
Entendendo como obter velocidade e aceleração (mini-aula rápida e necessária): a velocidade vetorial é a derivada da posição em relação ao tempo e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Isso significa que se \vec{r}(t)=(r_j(t))\hat{j}+(r_k(t))\hat{k}, então
Regra prática de derivação que vamos usar: se r(t)=A t^{n} então \dfrac{dr}{dt}=n A t^{n-1}. Derivada de constante é zero; derivada de termo linear B t é B.
Passo 3
Calcular explicitamente os componentes da posição para usar nas derivadas.
A aceleração no instante t=5\\ \mathrm{s} é a mesma (pois é constante):
\vec{a}(5)=6,0\,\hat{j}\quad(\text{m/s}^{2}).
Passo 8
Classificação do movimento em cada direção (explicando conceitos e conectando com os resultados).
Conceitos rápidos:
Movimento retilíneo uniforme (MRU) em uma direção: posição varia linearmente com t, r(t)=r_{0}+v\,t. Aceleração é zero nessa direção.
Movimento uniformemente acelerado (MUV ou MRUA) em uma direção: posição varia com t^{2}, r(t)=r_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2}, com aceleração constante a\neq 0.
Aplicando ao caso:
Direção \hat{j}: r_j(t)=-32+3,0\,t^{2} é função quadrática em t. Podemos escrever 3,0\,t^{2}=\tfrac{1}{2}(6,0)\,t^{2}, ou seja é um movimento com aceleração constante a_j=6,0\\ \text{m/s}^2 e velocidade inicial v_{j}(0)=0. Portanto na direção \hat{j} ocorre movimento uniformemente acelerado (MRUA).
Direção \hat{k}: r_k(t)=15\,t é função linear em t com velocidade constante v_k=15\\ \text{m/s} e aceleração a_k=0. Portanto na direção \hat{k} ocorre movimento retilíneo uniforme (MRU).
Breve comentário para dar ânimo: isso é bem comum — um componente quadrático (t^2) indica aceleração constante, componente linear indica movimento com velocidade constante.
Resposta
(a) \vec{v}(t)=6,0\,t\,\hat{j}+15\,\hat{k}. Velocidade instantânea em t=3\\ \mathrm{s}: \vec{v}(3)=18\,\hat{j}+15\,\hat{k} e \bigl|\vec{v}(3)\bigr|=3\sqrt{61}\\ \text{m/s}\approx 23,43\\ \text{m/s}. Velocidade média entre 0 e 3\\ \mathrm{s}: \vec{v}_{\text{méd}}=9\,\hat{j}+15\,\hat{k}.é
(b) \vec{a}(t)=6,0\,\hat{j}. Aceleração em t=5\\ \mathrm{s}: \vec{a}(5)=6,0\,\hat{j}\\ \text{m/s}^{2}.
(c) Em \hat{j}: movimento uniformemente acelerado (MRUA) com a_j=6,0\\ \text{m/s}^2. Em \hat{k}: movimento retilíneo uniforme (MRU) com v_k=15\\ \text{m/s}.