(2,5) Questão 1: A equação de um corpo em movimento varia no tempo de acordo com a equação \vec{r}=-\left(32-3,0 t^{2}\right) \hat{j}+15 t \hat{k} onde as distâncias são dadas em metros e o tempo em segundos. Calcule:
a) (1,0) o vetor velocidade, a velocidade instantânea em t=3 \mathrm{~s} e a velocidade média entre 0 e 3 segundos.
b) (1,0) \mathrm{O} vetor aceleração e a aceleração no instante \mathrm{t}=5 \mathrm{~s}.
c) (0,5) Que tipo de movimento acontece em cada direção?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados do enunciado (peguei-os do enunciado que você enviou):
  • A posição do corpo é dada por \vec{r} = -\bigl(32 - 3,0\, t^{2}\bigr)\,\hat{j} + 15\,t\,\hat{k}, com distâncias em metros e tempo em segundos.
  • Interpretei o termo -\bigl(32 - 3,0\, t^{2}\bigr)\,\hat{j} como o componente na direção \hat{j} igual a -32 + 3,0\,t^{2}.
O enunciado pede:
a) o vetor velocidade (função do tempo), a velocidade instantânea em t=3\\ \mathrm{s} e a velocidade média entre 0 e 3\\ \mathrm{s};
b) o vetor aceleração e a aceleração no instante t=5\\ \mathrm{s};
c) que tipo de movimento acontece em cada direção ( \hat{j} e \hat{k}).

Passo 2

Entendendo como obter velocidade e aceleração (mini-aula rápida e necessária): a velocidade vetorial é a derivada da posição em relação ao tempo e a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Isso significa que se \vec{r}(t)=(r_j(t))\hat{j}+(r_k(t))\hat{k}, então
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dr_j}{dt}\,\hat{j}+\frac{dr_k}{dt}\,\hat{k},
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d^2 r_j}{dt^2}\,\hat{j}+\frac{d^2 r_k}{dt^2}\,\hat{k}.
Regra prática de derivação que vamos usar: se r(t)=A t^{n} então \dfrac{dr}{dt}=n A t^{n-1}. Derivada de constante é zero; derivada de termo linear B t é B.

Passo 3

Calcular explicitamente os componentes da posição para usar nas derivadas.
Escrevendo os componentes:
r_j(t) = -\bigl(32 - 3,0\,t^{2}\bigr) = -32 + 3,0\,t^{2}, \qquad r_k(t)=15\,t.
Agora aplico a regra da Passo 2 componente a componente para obter \vec{v}(t).

Passo 4

Derivando para obter o vetor velocidade (explicando cada termo):
  • Para r_j(t)=-32 + 3,0\,t^{2}: a derivada é
\frac{d r_j}{dt}=2\cdot 3,0\;t = 6,0\;t.
  • Para r_k(t)=15\,t: a derivada é
\frac{d r_k}{dt}=15.
Portanto o vetor velocidade é
\vec{v}(t)=6,0\,t\,\hat{j}+15\,\hat{k}.
(Isto é um vetor cujo componente em \hat{j} cresce linearmente com t e cuja componente em \hat{k} é constante.)

Passo 5

Velocidade instantânea em t=3\\ \mathrm{s} (vetor e módulo).
Substituo t=3 em \vec{v}(t):
\vec{v}(3)=6,0\cdot 3\,\hat{j}+15\,\hat{k}=18\,\hat{j}+15\,\hat{k}\quad(\text{m/s}).
A velocidade instantânea (módulo da velocidade) é a norma do vetor:
\bigl|\vec{v}(3)\bigr|=\sqrt{18^{2}+15^{2}}=\sqrt{324+225}=\sqrt{549}.
Fatorando 549=9\cdot 61 obtemos
\bigl|\vec{v}(3)\bigr|=3\sqrt{61}\\ \text{m/s}\approx 23,43\\ \text{m/s}.

Passo 6

Velocidade média entre t=0 e t=3\\ \mathrm{s} (explicando o conceito): velocidade média vetorial é o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo,
\vec{v}_{\text{méd}}=\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}(3)-\vec{r}(0)}{3-0}.é
Calculo \vec{r}(0) e \vec{r}(3):
\vec{r}(0) = -32\,\hat{j}+0\,\hat{k} = -32\,\hat{j},
\vec{r}(3) = -32 + 3,0\cdot 3^{2}\,\hat{j} + 15\cdot 3\,\hat{k} = (-32+27)\,\hat{j}+45\,\hat{k} = -5\,\hat{j}+45\,\hat{k}.
Deslocamento \Delta\vec{r}=\vec{r}(3)-\vec{r}(0)=(-5-(-32))\,\hat{j} + (45-0)\,\hat{k}=27\,\hat{j}+45\,\hat{k}.
Dividindo por \Delta t=3:
\vec{v}_{\text{méd}}=\frac{27}{3}\,\hat{j}+\frac{45}{3}\,\hat{k}=9\,\hat{j}+15\,\hat{k}\quad(\text{m/s}).é

Passo 7

Aceleração: aplicando derivada à velocidade (explicando passo a passo).
Da fórmula \vec{v}(t)=6,0\,t\,\hat{j}+15\,\hat{k}, a derivada componente a componente dá:
  • \dfrac{d}{dt}(6,0\,t)=6,0 (constante),
  • \dfrac{d}{dt}(15)=0.
Logo
\vec{a}(t)=6,0\,\hat{j}+0\,\hat{k}=6,0\,\hat{j}\quad(\text{m/s}^{2}).
A aceleração no instante t=5\\ \mathrm{s} é a mesma (pois é constante):
\vec{a}(5)=6,0\,\hat{j}\quad(\text{m/s}^{2}).

Passo 8

Classificação do movimento em cada direção (explicando conceitos e conectando com os resultados).
Conceitos rápidos:
  • Movimento retilíneo uniforme (MRU) em uma direção: posição varia linearmente com t, r(t)=r_{0}+v\,t. Aceleração é zero nessa direção.
  • Movimento uniformemente acelerado (MUV ou MRUA) em uma direção: posição varia com t^{2}, r(t)=r_{0}+v_{0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2}, com aceleração constante a\neq 0.
Aplicando ao caso:
  • Direção \hat{j}: r_j(t)=-32+3,0\,t^{2} é função quadrática em t. Podemos escrever 3,0\,t^{2}=\tfrac{1}{2}(6,0)\,t^{2}, ou seja é um movimento com aceleração constante a_j=6,0\\ \text{m/s}^2 e velocidade inicial v_{j}(0)=0. Portanto na direção \hat{j} ocorre movimento uniformemente acelerado (MRUA).
  • Direção \hat{k}: r_k(t)=15\,t é função linear em t com velocidade constante v_k=15\\ \text{m/s} e aceleração a_k=0. Portanto na direção \hat{k} ocorre movimento retilíneo uniforme (MRU).
Breve comentário para dar ânimo: isso é bem comum — um componente quadrático (t^2) indica aceleração constante, componente linear indica movimento com velocidade constante.

Resposta

(a) \vec{v}(t)=6,0\,t\,\hat{j}+15\,\hat{k}. Velocidade instantânea em t=3\\ \mathrm{s}: \vec{v}(3)=18\,\hat{j}+15\,\hat{k} e \bigl|\vec{v}(3)\bigr|=3\sqrt{61}\\ \text{m/s}\approx 23,43\\ \text{m/s}. Velocidade média entre 0 e 3\\ \mathrm{s}: \vec{v}_{\text{méd}}=9\,\hat{j}+15\,\hat{k}.é
(b) \vec{a}(t)=6,0\,\hat{j}. Aceleração em t=5\\ \mathrm{s}: \vec{a}(5)=6,0\,\hat{j}\\ \text{m/s}^{2}.
(c) Em \hat{j}: movimento uniformemente acelerado (MRUA) com a_j=6,0\\ \text{m/s}^2. Em \hat{k}: movimento retilíneo uniforme (MRU) com v_k=15\\ \text{m/s}.

Exercícios relacionados