[Intensidade Luminosa e o Efeito fotoelétrico] Uma fonte pontual isotrópica de 100 W irradia luz com um comprimento de onda de 555 nm (verde amarelado). Este é o comprimento de onda para o qual o olho humano é mais sensível; um olho adaptado a um baixo nível de iluminação é capaz de detectar 10 fótons por segundo de uma radiação com este comprimento de onda. Supondo que a pupila do olho adaptado a um baixo nível de iluminação tem um diâmetro de 7 mm , a que distância da fonte o olho é capaz de captar a luz?
Passo 1
O enunciado pede: “a que distância da fonte o olho é capaz de captar a luz?”
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
- Potência total da fonte pontual isotrópica:
. - Comprimento de onda da luz:
. - Limiar de detecção do olho adaptado:
fótons por segundo (ou seja, o olho precisa receber pelo menos fótons/s). - Diâmetro da pupila:
. (Portanto raio da pupila .)
Objetivo: achar a distância
da fonte tal que a taxa de fótons que atinge a pupila seja igual a
.
Passo 2
Entendendo como a potência se espalha e como contar fótons. Conceitos e fórmulas essenciais:
- Fonte pontual isotrópica: a potência
é emitida igualmente em todas as direções, então a intensidade (irradiância, potência por área) a uma distância da fonte é dada por
onde
é a potência incidente por unidade de área (unidade:
),
é a potência total e
é a área da esfera de raio
. Aqui explico as variáveis:
em
,
em metros,
em
.
- Potência que entra na pupila: se a pupila tem área
, a potência que entra no olho é
- Energia de um fóton de luz de comprimento de onda
: cada fóton tem energia
onde
é a constante de Planck e
a velocidade da luz. Vou explicar os símbolos na prática:
,
,
em metros.
- Taxa de fótons por segundo que atingem a pupila (número de fótons por segundo) é
Nós conhecemos
. Vamos usar essa equação para resolver
.
Passo 3
Calcular a área da pupila. A pupila é aproximadamente um círculo de diâmetro
. Portanto o raio é
e a área é
Calculemos:
portanto
Passo 4
Calcular a energia de um fóton de
. Primeiro convertemos
para metros:
Usando
e
,
Calculemos numericamente o numerador:
Dividindo por
:
Então cada fóton tem aproximadamente
.
Passo 5
Agora montamos a equação para a taxa de fótons e isolamos
. Da fórmula do Passo 2:
Queremos
. Isolando
:
Substituímos os valores numéricos (todos em unidades SI):
-
, -
, -
, -
.
Calculando o denominador primeiro:
Numerador:
Então
Portanto
Passo 6
Interpretação final e conversão para uma unidade mais familiar:
. Em quilômetros:
Observação prática (só para contextualizar, sem alterar o resultado): este cálculo é idealizado — assume que não há absorção ou espalhamento pela atmosfera, que todos os fótons que entram na pupila são detectados, e que não há ruído de fundo. Na prática, a detecção real seria muito pior, mas para o problema físico-matemático a resposta é essa.