[Intensidade Luminosa e o Efeito fotoelétrico] Uma fonte pontual isotrópica de 100 W irradia luz com um comprimento de onda de 555 nm (verde amarelado). Este é o comprimento de onda para o qual o olho humano é mais sensível; um olho adaptado a um baixo nível de iluminação é capaz de detectar 10 fótons por segundo de uma radiação com este comprimento de onda. Supondo que a pupila do olho adaptado a um baixo nível de iluminação tem um diâmetro de 7 mm , a que distância da fonte o olho é capaz de captar a luz?

Passo 1

O enunciado pede: “a que distância da fonte o olho é capaz de captar a luz?”
Dados fornecidos (vou listar todos explicitamente):
  • Potência total da fonte pontual isotrópica: P=100\\ \mathrm{W}.
  • Comprimento de onda da luz: \lambda=555\\ \mathrm{nm}.
  • Limiar de detecção do olho adaptado: 10 fótons por segundo (ou seja, o olho precisa receber pelo menos 10 fótons/s).
  • Diâmetro da pupila: d=7\\ \mathrm{mm}. (Portanto raio da pupila r_{\text{pupila}}=3{,}5\\ \mathrm{mm}.)
Objetivo: achar a distância r da fonte tal que a taxa de fótons que atinge a pupila seja igual a 10\\ \text{fótons/s}ó.

Passo 2

Entendendo como a potência se espalha e como contar fótons. Conceitos e fórmulas essenciais:
  1. Fonte pontual isotrópica: a potência P é emitida igualmente em todas as direções, então a intensidade (irradiância, potência por área) a uma distância r da fonte é dada por
I(r)=\frac{P}{4\pi r^{2}},
onde I(r) é a potência incidente por unidade de área (unidade: \mathrm{W/m^{2}}), P é a potência total e 4\pi r^{2} é a área da esfera de raio r. Aqui explico as variáveis: P em \mathrm{W}, r em metros, 4\pi r^{2} em \mathrm{m^{2}}.
  1. Potência que entra na pupila: se a pupila tem área A_{\text{pupila}}, a potência que entra no olho é
P_{\text{pupila}} = I(r)\,A_{\text{pupila}} = \frac{P\,A_{\text{pupila}}}{4\pi r^{2}}.
  1. Energia de um fóton de luz de comprimento de onda \lambda: cada fóton tem energia
E_{\text{fóton}}=\frac{h c}{\lambda},ó
onde h é a constante de Planck e c a velocidade da luz. Vou explicar os símbolos na prática: h\approx 6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}, c\approx 2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, \lambda em metros.
  1. Taxa de fótons por segundo que atingem a pupila (número de fótons por segundo) é
\dot{N}=\frac{P_{\text{pupila}}}{E_{\text{fóton}}}=\frac{P\,A_{\text{pupila}}}{4\pi r^{2} E_{\text{fóton}}}.óó
Nós conhecemos \dot{N}=10\\ \text{fótons/s}ó. Vamos usar essa equação para resolver r.

Passo 3

Calcular a área da pupila. A pupila é aproximadamente um círculo de diâmetro d=7\\ \mathrm{mm}=7\times10^{-3}\\ \mathrm{m}. Portanto o raio é r_{\text{pupila}}=3{,}5\times10^{-3}\\ \mathrm{m} e a área é
A_{\text{pupila}}=\pi r_{\text{pupila}}^{2}=\pi\,(3{,}5\times10^{-3})^{2}.
Calculemos:
(3{,}5\times10^{-3})^{2}=12{,}25\times10^{-6}=1{,}225\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}},
portanto
A_{\text{pupila}}=\pi\times1{,}225\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}\approx 3{,}847\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a energia de um fóton de \lambda=555\\ \mathrm{nm}. Primeiro convertemos \lambda para metros:
\lambda=555\\ \mathrm{nm}=555\times10^{-9}\\ \mathrm{m}=5{,}55\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Usando h=6{,}626\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} e c=2{,}998\times10^{8}\\ \mathrm{m/s},
E_{\text{fóton}}=\frac{h c}{\lambda}=\frac{6{,}626\times10^{-34}\times2{,}998\times10^{8}}{5{,}55\times10^{-7}}\\ \mathrm{J}.ó
Calculemos numericamente o numerador:
h c \approx 1{,}98645\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Dividindo por \lambda:
E_{\text{fóton}}\approx \frac{1{,}98645\times10^{-25}}{5{,}55\times10^{-7}}\\ \mathrm{J}\approx 3{,}578\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.ó
Então cada fóton tem aproximadamente 3{,}58\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Agora montamos a equação para a taxa de fótons e isolamos r. Da fórmula do Passo 2:
\dot{N}=\frac{P\,A_{\text{pupila}}}{4\pi r^{2} E_{\text{fóton}}}.ó
Queremos \dot{N}=10. Isolando r^{2}:
r^{2}=\frac{P\,A_{\text{pupila}}}{4\pi E_{\text{fóton}}\,\dot{N}}.ó
Substituímos os valores numéricos (todos em unidades SI):
  • P=100\\ \mathrm{W},
  • A_{\text{pupila}}\approx 3{,}847\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}},
  • E_{\text{fóton}}\approx 3{,}578\times10^{-19}\\ \mathrm{J}ó,
  • \dot{N}=10\\ \mathrm{s^{-1}}.
Calculando o denominador primeiro:
4\pi E_{\text{fóton}}\,\dot{N}=4\pi\times3{,}578\times10^{-19}\times10 \approx 4{,}4969\times10^{-17}.ó
Numerador:
P\,A_{\text{pupila}}=100\times3{,}847\times10^{-5}=3{,}847\times10^{-3}.
Então
r^{2}=\frac{3{,}847\times10^{-3}}{4{,}4969\times10^{-17}}\approx 8{,}560\times10^{13}\\ \mathrm{m^{2}}.
Portanto
r\approx\sqrt{8{,}560\times10^{13}}\\ \mathrm{m}\approx 9{,}25\times10^{6}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação final e conversão para uma unidade mais familiar: r\approx9{,}25\times10^{6}\\ \mathrm{m}. Em quilômetros:
r\approx9{,}25\times10^{3}\\ \mathrm{km}\approx 9250\\ \mathrm{km}.
Observação prática (só para contextualizar, sem alterar o resultado): este cálculo é idealizado — assume que não há absorção ou espalhamento pela atmosfera, que todos os fótons que entram na pupila são detectados, e que não há ruído de fundo. Na prática, a detecção real seria muito pior, mas para o problema físico-matemático a resposta é essa.

Resposta

r \approx 9{,}25\times10^{6}\\ \mathrm{m} (aprox. 9{,}25\times10^{3}\\ \mathrm{km}).

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